Linealisació

En matemàtiques i les seues aplicacions, la linealisació es referix al procés de trobar l'aproximació llineal a una funció en un punt donat. En l'estudi dels sistemes dinàmics, la linealisació és un método per a estudiar l'estabilitat local d'un punt d'equilibri d'un sistema d'equacions diferencials no llineals. Este método s'utilisa en camps tals com l'ingenieria, la física, l'economia, i la biologia.

Linealisació d'una funció

El resultat de la linealisació d'una funció és una funció llineal que normalment s'utilisa en finalitat de càlcul. La linealisació és un método eficaç que s'utilisa per a aproximar el resultat d'una funció en un punt qualsevol $x = a$ a partir de la pendent i del valor de la funció $y = f (x)$ al punt $x = b$ , sempre que f(x) siga derivable a $[a, b]$ (o a $[b, a]$ )i que $a$ siga propenc a $b$ . En resum, la linealisació aproxima el resultat de la funció prop del punt $x = a$ .

Per eixemple, es pot saber que $\sqrt{4} = 2$ . Pero, sense calculadora, ¿quin deuria ser una bona aproximació de $\sqrt{4, 001} = \sqrt{4 + 0, 001}$ ?

Per a qualsevol funció donada $y = f (x)$ , $f (x)$ es pot aproximar si és propenca a un punt a on és derivable i coneguda. El requisit més bàsic és que, si $L_{a} (x)$ és la linealisació de f(x) a x = a, $L (a) = f (a)$ . l'equació llineal d'una equació qualsevol és una recta, donat un punt $(H, K)$ i la pendent $M$ . La fòrmula general d'esta equació és: $y - K = M (x - H)$ .

Usant el punt $(a, f (a))$ , $L_{a} (x)$ devé $y = f (a) + M (x - a)$ . Com les funcions derivables són localment llineals, la millor pendent per a substituir en l'equació, ha de ser la pendent de la llínea tangente a $f (x)$ a $x = a$ .

Mentres el concepte de linealidad local s'aplica principalment a punts arbitrariamente pròxims a $x = a$ , este concepte de relativament pròxim funciona relativament be per a aproximacions llineals. Despuix de tot, una linealisació és solament una aproximació. La pendent $M$ ha de ser, més exactament, la pendent de la recta tangente a $x = a$ .

Visualment, la figura mostra la recta tangente a $f (x)$ en x. A $f (x + h)$ , a on $h$ és qualsevol valor menut, positiu o negatiu, f(x+h) és molt propenc al valor de la recta tangente al punt $(x + h, L (x + h))$ .

L'equació per a la linealisació d'una funció a $x = a$ és:

$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

Per a $x = a$ , $f (a)$ és $f (x)$ a $a$ . La derivada de $f (x)$ és $f^{'} (x)$ , i la pendent de $f (x)$ a $a$ és $f^{'} (a)$ .

Eixemple

Per a trobar $\sqrt{4, 001}$ , es pot usar el fet que $\sqrt{4} = 2$ . La linealisació de $f (x) = \sqrt{x}$ en $x = a$ és $y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}} (x - a)$ , perque la funció $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ definix la pendent de la funció $f (x) = \sqrt{x}$ en $x = a$ . Fent $a = 4$ , la linealisació a 4 és $y = 2 + \frac{x - 4}{4}$ . En este cas $x = 4.001$ , per tant $\sqrt{4, 001}$ és aproximadament $2 + \frac{4, 001 - 4}{4} = 2.00025$ . El valor exacte és propenc a 2.00024998, per tant l'aproximació donada per la linealisació és extraordinàriament precisa.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Linealización» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.