Lema del número de Lebesgue

En topología, el lema del número de Lebesgue, nomenat aixina per Henri Lebesgue, és una ferramenta útil en l'estudi d'espais mètrics compactes.Enuncia que:

Si un espai mètric $(X,d)$ és compacte i un recobriment obert de $X$ està donat, llavors existix un número $\delta >0$ tal que cada subconjunt de $X$ en un diàmetro menor a $\delta$, està contingut en algun membre del recobriment.

Tal número $\delta$ és cridat un número de Lebesgue d'este recobriment.

Demostració

Demostració directa

Siga $𝒰$ un recobriment obert de $X$. Ya que $X$ és compacte, podem extraure un subrecubrimiento finito $\{A_1,\dots ,A_n\}\subseteq 𝒰$ . Si algun conjunt $A_i$ és igual a $X$, llavors podem prendre qualsevol $\delta >0$ com a número de Lebesgue i hem acabat. Supongam puix que no: per a cada $i\in \{1,\dots ,n\}$, siga $C_i:=X\setminus A_i$, que serà puix no buit, i definim la funció $f:X\to ℝ$ com la distància mija d'un punt a fòra de cada conjunt $A_i$:

$f(x):=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_i)$.

Ya que $f$ és contínua en un conjunt compacte, pel teorema de Weierstrass, alcança el seu mínim $\delta$ en un cert punt $x\in X$. L'observació clau és que, ya que $x$ està contingut en algun obert $A_i$ (puix recobrixen $X$), llavors $\delta =f(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_i)\ge \frac{1}{n}d(x,C_i)>0$.

Ara podem verificar que este $\delta$ és el número de Lebesgue desijat. Si $Y$ és un subconjunt de $X$ en un diàmetro menor a $\delta$, llavors, per definició de diàmetro, existix $y_0\in X$ tal que $Y\subseteq B_{\delta }(y_0)$, a on $B_{\delta }(y_0)$ denota la bola de radi $\delta$ en centre en $y_0$ (concretament, un pot triar $y_0$ qualsevol punt en $Y$). Ya que $f(y_0)\ge \delta$ (per definició de el $\delta$ pres), té que existir a lo manco un $i$ tal que $d(y_0,C_i)\ge \delta$ (per definició de $f$). Açò implica que $B_{\delta }(y_0)\subseteq A_i$ i, en particular, que $Y\subseteq A_i$. $◻$

Per reducció a l'absurt

Com $X$ és compacte mètric, és secuencialmente compacte, és dir, tota successió de punts de $X$ té una subsucesión convergent. Suponem puix que $X$ és secuencialmente compacte i que $𝒰=\{U_i|i\in I\}$ és un recobriment obert de $X$ que no té un número de Lebesgue i aplegarem a contradicció. Que el recobriment no tinga un número de Lebesgue vol dir que per a qualsevol $\delta >0$ existix un conjunt $A\subseteq X$ de diàmetro menor que $\delta$ que no està contingut en cap $U_i,i\in I$ (és dir, cap $\delta$ servix com a número de Lebesgue del recobriment).

Si per a cada $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ prenem ${\delta }_n=\frac{1}{n}$, podem construir una successió de subconjunts $A_n$ de $X$ tal que per a cada $n$ es té que $\mathrm{diam}(A_n)<\frac{1}{n}$ pero $A_n\subseteq ̸U_i\mathrm{\forall }i\in I$. D'esta última "no inclusió" es deduïx que els $A_n$ són no buits (si ho anaren, estarien inclosos en qualsevol conjunt; en particular, en $U_i$). Per tant, l'axioma d'elecció nos permet formar una successió de punts $(x_n)$ tal que $x_n\in A_n$ per a cada $n$. Com $X$ és secuencialmente compacte, esta successió té una subsucesión convergent $(x_{n_k})$ cap a un cert punt $x_0\in X$.

Com $𝒰$ és un recobriment de $X$, existix un $i_0\in I$ tal que $x_0\in U_{i_0}$. El nostre objectiu és vore que per a un $k$ suficientment gran el conjunt $A_{n_k}$ també estarà totalment inclós en $U_{i_0}$, lo que entra en contradicció en les nostres hipòtesis.

Com $U_{i_0}$ és un obert mètric, existix un radi $r>0$ suficientment chicotet tal que $B(x_0,r)\subseteq U_{i_0}$. Per convergència de la successió $(x_{n_k})$, per a $k$ suficientment gran, tots els elements de la successió estaran en $B(x_0,\frac{r}{2})$: $\mathrm{\exists }{k}_0\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ tal que $\mathrm{\forall }k\ge k_0{x}_{n_k}\in B(x_0,\frac{r}{2})$.

Ademés, existix $M\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ suficientment gran tal que ${\delta }_M=\frac{1}{M}<\frac{r}{2}$. Prengam $k$ suficientment gran per a que se satisfaça tant que $n_k\ge M$ com que $k\ge k_0$. Afirmem que $A_{n_k}\subseteq U_{i_0}$, lo que és una contradicció en que per a cada $n$ es tinga que $A_n\subseteq ̸U_i\mathrm{\forall }i\in I$, i haurem acabat. En efecte, siga $x\in A_{n_k}$. Es té que:

• $d(x_{n_k},x)\le \mathrm{diam}(A_{n_k})<\frac{r}{2}$, l'última desigualtat perque $n_k\ge M$, per lo que $\mathrm{diam}(A_{n_k})<\frac{1}{n_k}\le \frac{1}{M}<\frac{r}{2}$, per elecció de $M$.
• $d(x_{n_k},x_0)<\frac{r}{2}$, per ser $k\ge k_0$.

Ara, per desigualtat triangular, $d(x,x_0)<r$ per lo que $x\in B(x_0,r)\subseteq U_{i_0}$, d'a on es deduïx que $A_{n_k}\subseteq U_{i_0}$. $◻$