Lema de Riemann-Lebesgue

El lema de Riemann-Lebesgue establix que l'integral de la transformada d'una funció tendix a anular-se a mida que aumenta el número d'oscilacions de la funció.

En matemàtiques, el Lema de Riemann-Lebesgue rep el nom en honor als matemàtics Bernhard Riemann i Henri Lebesgue, i és d'importància en anàlisis harmònic i anàlisis asintòtic.

Este resultat és en realitat un resultat prou profunt, degut a que és un element crucial en la prova de la convergència puntual de les séries de Fourier.

Història

Bernhard Riemann va presentar en 1854 una primera versió d'esta teorema. Es convertix en part d'una tesis sobre les séries trigonométricas presentat a permetre que el seu defensa de l'Universitat de Göttingen, titulat "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (Sobre la representació d'una funció per una série trigonométrica) en açò Riemann definix l'integral que du el seu nom. És en el context d'esta teoria de l'integració per a provar la seua teorema, en molts atres troballes en séries de Fourier. La memòria serà publicada en 1867 per iniciativa de Richard Dedekind.

Enunciat

Si $f\in L^1({ℝ}^n)$, llavors

$\hat{f}(\xi ):=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-i\xi \cdot x}dx\to 0$, quan $|\xi |\to \mathrm{\infty }$.

Açò és, la transformada de Fourier de $f$ tendix a zero, quan $\xi$ tendix a infinit.