Grup de gauge (matemàtiques)

Un grup de gauge (també conegut com a grup de pas, grup de calibre o grup gauge) és un grup de simetria de gauge del camp de Yang-Mills de conexions en un fibrado principal. Donat un paquet principal $P\to X$ en una estructura de grup de Lie $G$, un grup de passos es definix com un grup dels seus automorfismes verticals. Este grup és isomorfo al grup $G(X)$ de seccions globals del grup associat $\tilde{P}\to X$, la fibra típica del qual és un grup $G$ que actua sobre sí mateixa per la representació adjunta. L'element de l'unitat de $G(X)$ és una secció constant de valors unitaris $g(x)=1$ de $\tilde{P}\to X$.

Al mateix temps, la teoria de norma gravitacional ejemplifica la teoria de camps covariants clàssica en un marc de fas principal les simetria del qual de pas són transformacions covariants generals que no són elements d'un grup d'indicadors.

Es deu emfatisar que, en la lliteratura física sobre teoria de camp de gauge, un grup d'estructura d'un fes principal a sovint es denomina grup de gauge.

En teoria quàntica de gauge, es considera un subgrup normal $G^0(X)$ d'un grup de passos $G(X)$ que és l'estabilisador

$G^0(X)=\{g(x)\in G(X):g(x_0)=1\in {\tilde{P}}_{x_0}\}$

d'algun punt $1\in {\tilde{P}}_{x_0}$ d'un grup de fas $\tilde{P}\to X$. Es diu grup d'indicadors puntuals. Este grup actua lliurement en un espai de conexions principals. Òbviament, $G(X)/G^0(X)=G$. També es presenta el "$\bar{G}(X)=G(X)/Z$ del grup d'indicadors efectiu", a on $Z$ és el centre d'un grup d'indicadors $G(X)$. Este grup $\bar{G}(X)$ actua lliurement en un espai de conexions principals irreducibles.

Si un grup d'estructura $G$ és un grup matricial semisimple complex, es pot introduir l'espai de Sóbolev ${\bar{G}}_k(X)$ d'un grup de gauge $G(X)$. És un grup de Lie. Un punt clau és que l'acció de ${\bar{G}}_k(X)$ en una terminació de Sóbolev $A_k$ d'un espai de conexions principals és suau, i que un espai d'òrbita $A_k/{\bar{G}}_k(X)$ és un espai de Hilbert. És un configuració espacial de la teoria de la mida quàntica.

Bibliografia

• Mitter, P., Viallet, C., On the bundle of connections and the gauge orbit manifold in Yang – Mills theory, Commun. Math. Phys. 79 (1981) 457.
• Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundations of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quàntum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8.

Vore també

• Teoria de camp de gauge
• Fibrado principal
• Simetria de pas (matemàtiques)