Funció de dispersió de punt

Image formation in a confocal microscope: central llongitudinal (XZ) slice. The 3D acquired distribution arises from the convolution of the real light sources with the PSF.

Erro al crear miniatura:

A point source as imaged by a system with negative (top), zero (center), and positive (bottom) spherical aberration. Images to the left llaure defocused toward the inside, images on the right toward the outside.

La funció de dispersió de punt (PSF) descriu la resposta d'un sistema d'image a una font de punt o punt objecte. Un terme més general per a la PSF és la resposta del sistema a l'impuls, la PSF sent la resposta a l'impuls d'un sistema òptic enfocat (central). La PSF en molts contexts es pot considerar com la gota (“blob”) estesa d'una image que representa un objecte sense resoldre. En térmens funcionals, és la versió de domini espacial de la funció de transferència de la modulació. És un concepte útil en l'òptica de Fourier, imàgens astronòmiques, en el microscopi electrònic i atres tècniques d'image com la microscopia en 3D (microscopia d'escàner de làser confocal) i la microscopia de fluorescència. El grau de dispersió (desenfoque) del punt d'objecte és una mida de calitat d'un sistema d'image. En sistemes d'image incoherents com els microscopis de fluorescència, els telescopis o els microscopis òptics, els processos de formació de l'image són llineals en poder i són descrits per teories de sistemes llineals. Açò significa que quan dos objectes A i B són traçats simultàneament, el resultat és igual a la suma independent dels objectes traçats. En atres paraules: el traçat de no és afectada pel traç de B i viceversa, per la propietat de no-interactuar dels fotons. L'image d'un objecte complex es pot vore com convolución d'un objecte verdader i la PSF. No obstant, quan la llum detectada és coherent, la formació d'image és linear en el camp complex. Gravació de l'intensitat d'una image pot dur a una cancelació o atres efectes no llineals.

Introducció

Per virtut de la propietat linear de sistemes d'imàgens òptiques, per eixemple:

Image(Object₁ + Object₂) = Image(Object₁) + Image(Object₂)

l'image d'un objecte en un microscopi o telescopi pot ser calculat per mig de l'expressió del camp objecte-pla com una suma ponderada de funcions d'impulsos 2D, i expressant llavors el camp pla d'image com la suma ponderada sobre les imàgens d'estes funcions d'impulsos. A açò se li coneix com principi de superposició, vàlit per a sistemes llineals. Les imàgens de les funcions d'impuls d'objectes plans individuals es denominen funció de dispersió de punts, lo que reflectix el fet de que un punt matemàtic de llum en un objecte pla és escampat per a formar una àrea finita en pla d'image (en algunes branques de matemàtiques i física, estes pogueren referir-se com funció de Green o funció de resposta impulsiva.

Quan l'objecte es dividix en un objecte de punts discrets de intensitat variants, l'image és computada com una suma de la PSF de cada punt. Conforme la PSF és tímidament determinada enterament per un sistema d'image (és dir, microscopi o telescopi), l'image sancera pot descriure's sabent les propietats òptiques del sistema. Este procés generalment és formulat per equacions de convulación. En el processament d'image de microscopi i astronomia, sabent que el PSF del dispositiu de medició és molt important per a la restauració de l'image (original) en deconvulación.

Teoria

La funció de dispersió de punt pot ser independent de la producció del pla de l'objecte, en el cas del qual es diu canvi invariable. Ademés, si no hi ha distorsió en el sistema, les coordenades de l'image plana estan linealment relacionades en les coordenades de l'objecte pla i a la magnificación M a on:

$(x_i,y_i)=(M{x}_o,M{y}_o)$.

Si el sistema d'image produïx una image invertida, simplement es pot considerar els eixos de coordenades del pla d'image (image plane coordinate axes) com a inverses als eixos de coordenades del pla de l'image. En estes dos premisses, per eixemple, que el PSF és invariante al canvi i que no hi ha distorsió, calcular la convulación integral del pla imaginari és un procés senzill. Matemàticament podem representar el camp de l'objecte pla com:

$O(x_o,y_o)=\int \int O(u,v)\delta (x_o-u,y_o-v)dudv$

És dir, com una suma de les funcions d'impulsos ponderats, encara que també açò solament declare la propietat de translació de les funciones delta 2D (comentades avall). Reescriure la funció de transmissió de l'objecte en la forma indicada dalt nos permet calcular el camp de l'image del pla (image plane field) com la súper posició de les imagines de cada una de les funcions d'impulsos individuals, és dir, com una súper posició sobre les funcions de dispersió punt ponderades en el pla d'image usant la “mateixa” funció ponderara en el pla de l'objecte. Per eixemple, matemàticament, l'image s'expressa com:

$I(x_i,y_i)=\int \int O(u,v)\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{F}(x_i-Mu,y_i-Mv)dudv$

en la qual PSF(x_i − Mu,i_i − Mv) és l'image de la funció d'impuls δ(x_o − o,i_o − v).

La funció d'impuls 2D pot ser considerat com el llímit (com una dimensió lateral a on w' tendix a zero) de la funció poste quadrat, mostrada en la figura d'avall. (Fer clic per a ampliar).

Erro al crear miniatura:

Square Post Function

Podem imaginar l'objecte pla com sent fraccionat en aérees quadrades tals com esta, a on cada una té la seua pròpia funció associada de poste quadrat. Si l'altura, h, del poste es manté en 1/w², llavors en tant la dimensió lateral “w” tendix a zero, l'altura, “h”, tendix a infinit de tal manera que el volum (integral) permaneix constant a 1. Açò li dona a l'impuls 2D la propietat de desplaçament (la qual cosa és implícit en l'equació anterior), que diu que quan la transmissió i impulse 2D, δ(x − o,i − v), s'integra contra qualsevol atra funció contínua, f(o,v), la qual cosa “shifts out” el valor de “f” en l'ubicació de l'impuls, per eixemple, en el punt (x,i).

Ya que el concepte d'un objecte de punt de font perfecta“perfect point source object” és tan central a l'idea de PSF, val la pena passar més temps en ella abans de passar a lo següent. Primer que res, no existix tal cosa en la naturalea com un punt perfecte; el concepte és completament no-físic i no és res més que una construcció matemàtica utilisat per a crear models i entendre els sistemes d'imàgens òptiques. L'utilitat del concepte de font puntal en el pla d'objecte 2D solament pot emetre una amplitut uniforme perfecta, ona esfèrica- una ona perfectament esfèrica, en front de fases que viagen cap a l'exterior en intensitat uniformes en tots els llocs de les esferes (vore principi de Huygens-Fresnel). Una font d'ones esfèriques uniformes es mostra en la següent figura (clic per a ampliar). També observem que un radiador de font puntal matemàticament perfecte no solament irradiara un espectre uniforme d'ones planes que propaguen, sino un espectre uniforme d'ones que està en descomposició de manera exponencial (Evanescent ona evanescente ) també, i són estos els que tenen la responsabilitat de resolució més fina que una llongitut d'ona (vore òptica de Fourier). Açò es deduïx de la següent expressió transformada de Fourier per a una funció d'impuls 2D,

$\delta (x,y)\propto \int \int e^{j(k_{x}x+k_{y}y)}d{k}_{x}d{k}_y$

Erro al crear miniatura:

Truncation of Spherical Wave by Lens

El lent quadràtic intercepta una porció d'esta ona esfèrica, i la torna a enfocar a un punt borroso en el pla de l'image. Per a un sol lent, una font puntal on-axis (on-axis point source) en el pla de l'objecte produïx un disc de Airy PSF en pla de l'image. Açò pansa concorde a lo següent. Pot ser mostrat (vore l'òptica de Fourier, el principi de Huygens-Fresnel, i la difracció de Fraunhofer) que el camp irradiado per un objecte pla (o, en reprocidad, el camp convergix cap a una image plana) és relacionada en la seua font corresponent (o image) plans distribuït via una relació transformada de Fourier (FT). Ademés, una funció uniforme sobre un àrea circular (en un domini FT) correspon a la funció de Airy, J1 (x)/X en el domini FT, a on J1 (x) és la primera funció Bessel del primer tipo. Açò és, una obertura circular en allumenament uniforme que passa a una ona esfèrica convergent uniforme que produïx una image de funció Airy en el pla focal .

Per lo tant, l'ona esfèrica (parcialment) convergent mostrada en la figura de dalt produïx un disc de Airy en l'image en pla. L'argument de la funció de Airy és important, perque esta determina el tamany o escala del disc de Airy (en atres paraules, que tan gran és el disc en l'image en pla). Si ©max és l'àngul màxim que les ones convergents fan en l'eix del lent, r és la distància radial de l'image en pla, i el número k = 2π / λ, a on λ = llongitut d'ona, llavors l'argument de la funció de Airy és: kr tan (Θmax ). Si Θmax és chicoteta (solament una chicoteta porció de l'ona esfèrica convergent està disponible per a formar l'image), llavors la distància radial, r, té que ser molt gran ans que l'argument total de la funció de Airy es mou alluntant-se de la part central. En atres paraules, si Θmax és menuda, el disc de Airy és gran (que és una atra declaració de la relació de indeterminación de Heisenberg per als parells de FT, que diu que en chicoteta mida en un domini correspon a la mida d'ample en l'atre domini, i les dos estan relacionades a través del producte ample de banda-espai. En virtut d'açò, els sistemes d'alta magnificación, que típicament tenen valors menuts de Θmax (per la relació de sens de Abbe), pot tindre una image més borrosa, per l'àmplia PSF. El tamany de la PSF és proporcional a la magnificación, de manera que la falta de definició no és pijor en un sentit relatiu, pero és definitivament pijor en un sentit absolut.

En la figura anterior, a on s'ilustra la truncació de l'incident de l'ona esfèrica pel lent, nosatres podrem notar un fet molt significante. Per a medir la funció de dispersió de punt- o la funció de la resposta de l'impuls - del lent, no es necessita un punt perfecte en la font que irradie una perfecta ona esfèrica en totes les direccions de l'espai. Açò es deu a que nostre lent solament té un ample de banda finita (angular), o un àngul finito de intercepción. Per lo tant qualsevol ample de banda angular continguda en la font, que s'estén més allà del llímit de la vora de l'àngul del lent (és dir, es troba fòra de l'ample de banda del sistema), és essencialment un desperdici d'ample de banda perque el lent no pot interceptar-la per a poder processar-la. Com a resultat, una font de punt perfecte no és requerida per a poder medir una funció de dispersió de punt perfecte. Tot lo que necessitem és una de font de llum que tinga per lo manco l'ample de banda angular com l'ample de banda del lent este sent provat (i pel seu lloc, siga uniforme sobre el sector angular). En atres paraules, solament requerim un punt de font que siga produïda per una ona esfèrica convergent (uniforme) el mig àngul del qual siga major que la vora de l'àngul del lent.

Vore també

• Círcul de confusió
• Disc de Airy
• PSF Lab

Referències

• Optics Letters.
• Duke University, Geòrgia Tech Research Institute, Geòrgia Institute of Technology.(June 2010)doi:10.1364/OL.35.002460.