Relació de sens de Abbe

La relació dels sens de Abbe és una condició que deuen complir les lents o uns atres sistemes òptics per a poder produir imàgens definides d'objectes tant en l'eix òptic com fora. Va ser formulada per Ernst Abbe en el camp dels microscopis.

La condició matemàtica és:

$\frac{\sin u^{\prime }}{\sin U^{\prime }}=\frac{\sin u}{\sin U}$

a on o i O són els ànguls (relatius a l'eix òptic) de dos rajos de llum qualssevol que partixen d'un objecte; o’ i O’ són els ànguls dels mateixos rajos quan apleguen al pla de l'image. Per eixemple, (o,o’) podrien representar un raig paraxial (casi paralel a l'eix òptic), i (O,O’') un raig marginal (un raig en el major àngul permés per l'obertura del sistema); no obstant, la condició és general, i no és solament aplicable a dits rajos.

En paraules, el sen de l'àngul d'eixida deu ser proporcional al sen de l'àngul d'incidència.

L'aument i la relació dels sens de Abbe

El significat de la relació de sens de Abbe es pot explicar fàcilment en el marc de l'òptica de Fourier. Siga un objecte en el pla de l'objecte d'un sistema òptic que tinga una funció de transmitancia de la forma, T(x_o,i_o). Podem expressar esta funció en térmens de la seua Transformada de Fourier com

$T(x_o,y_o)=\iint T(k_x,k_y)e^{j(k_x{x}_o+k_y{y}_o)}d{k}_{x}d{k}_y.$

Assumim ara per simplicitat que el sistema no té distorsió, de manera que la relació entre les coordenades del pla de l'image i les del pla de l'objecte és llineal, de la següent manera:

$x_i=M{x}_o$

$y_i=M{y}_o$

a on M és l'aument del sistema. Reescrigam ara la transmitancia del pla de l'objecte donada dalt en una forma llaugerament diferent:

$T(x_o,y_o)=\iint T(k_x,k_y)e^{j((k_x/M)(M{x}_o)+(k_y/M)(M{y}_o))}d{k}_{x}d{k}_y$

Simplement s'han multiplicat i dividit els diversos térmens en l'exponent per M, l'aument del sistema. Ara podem escriure les equacions precedents, que estaven donades en coordenades del pla image, en coordenades del pla de l'objecte, per a obtindre,

$T(x_i,y_i)=\iint T(k_x,k_y)e^{j((k_x/M)x_i+(k_y/M)y_i)}d{k}_{x}d{k}_y$

en este punt podem propondre una atra transformació de coordenades (açò és, la relació de sens de Abbe) relacionant els número del pla de l'objecte en els número del pla de l'image:

$k_x^i=\frac{k_x}{M}$

$k_y^i=\frac{k_y}{M}$

Aixina s'obté l'equació final per al pla de l'image en térmens de coordenades i número del pla de l'image:

$T(x_i,y_i)=M^2\iint T(M{k}_x^i,M{k}_y^i)e^{j(k_x^i{x}_i+k_y^i{y}_i)}d{k}_x^{i}d{k}_y^i$

Per òptica de Fourier, sabem que els número poden expressar-se en coordenades esfèriques com:

$k_x=k\sin \theta \cos \phi$

$k_y=k\sin \theta \sin \phi$

Si considerem una component espectral per a la que $\varphi =0$, llavors el canvi de coordenades entre els número en els plans de l'image i l'objecte pren la forma:

$k^i\sin {\theta }^i=k\frac{\sin \theta }{M}.$

Esta és una atra manera d'escriure la relació de sens de Abbe, que reflectix senzillament el principi de indeterminación d'Heisenberg per a parells de transformades de Fourier. En efecte, a mida que l'extensió espacial d'una funció qualsevol aumenta (pel factor d'aument, M), l'extensió espectral es contrau el mateix factor M, de manera que el producte espai-ample de banda permaneix constant.