Funció L p-ádica

En matemàtica, una funció zeta p-ádica, o més generalment, una funció L p-ádica, és una funció anàloga a la funció zeta de Riemann, o a les més generals funcions L, pero que el seu domini i el seu codominio són p-ádicos (a on p és un número primo). Per eixemple, el domini podria ser els sancers p-ádicos Z_p, un p-grup profinito, o una família p-ádica de representacions de Galois, i l'image podria ser els números p-ádicos Q_p o el seu clausura algebraica.

La font d'una funció L p-ádica tendix a ser una entre dos tipos. La primera font —per la qual Tomio Kubota i Heinrich-Wolfgang Leopoldt varen donar la primera construcció d'una funció L p-ádica Kubota (Leopoldt)—és per mig de l'interpolació p-ádica de valors especials de les funcions L. Per eixemple , Kubota–Leopoldt varen usar les congruència de Kummer per als números de Bernoulli per a construir una funció L p-ádica, la funció zeta p-ádica ζ_p(s), els valors de la qual en número entero negatius impars són aquells de la funció zeta de Riemann per als números negatius sancers impars (junt a un factor de correcció explícit). Les funcions L p-àdiques que sorgixen d'esta manera són comunament referenciadas com a funcions L p-àdiques analítiques. L'atra major font de funcions L p-ádicas—descobertes inicialment per Kenkichi Iwasawa—provenen de l'aritmètica dels cossos ciclotòmics, o més generalment, de certs mòduls de Galois sobre torres de cossos ciclotòmics o de torres més generals. Una funció L p-ádica que sorgix d'esta manera és típicament cridada funció L p-ádica aritmètica ya que codifica les senyes aritmètiques del mòdul de Galois involucrat. La conjectura principal de la teoria de Iwasawa (ara convertida en teorema gràcies a Barry Mazur i Andrew Wiles) és una declaració de que la funció L p-ádica de Kubota–Leopoldt i un anàlec aritmètic construït per mig de la teoria de Iwasawa són essencialment lo mateix. En situacions més generals a on abdós (analítica i aritmètica) funcions L p-àdiques són construïdes (o s'espera), la declaració de que és aixina es denota com la conjectura principal de Iwasawa per a aquella situació. Tals conjectura representen declaracions formals concernents a la filosofia que els valors especials de funcions L contenen informació aritmètica.

Funcions L de Dirichlet

La funció L de Dirichlet ve donada per la continuació analítica

$L(s,\chi )=\sum _n\frac{\chi (n)}{n^s}=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-\chi (p)p^{-s}}$

La funció L de Dirichlet en sancers negatius ve donada per mig de

$L(1-n,\chi )=-\frac{B_{n,\chi }}{n}$

a on B_n,χ és un número de Bernoulli generalisat definit per

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n,\chi }\frac{t^n}{n!}=\sum _{a=1}^f\frac{\chi (a)t{e}^{at}}{e^{ft}-1}$

per a χ un caràcter de Dirichlet en conductor f.

Definició usant interpolació

La funció L p-ádica de Kubota–Leopoldt L_p(s, χ) interpola la funció L de Dirichlet en el factor de Euler en p eliminat. Concretament, L_p(s,χ) és l'única funció contínua del número p-ádico tal que

$L_p(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )$

per als sancers positius n divisibles per p−1. El membre de la dreta és precisament la funció L de Dirichlet ordinària, en l'excepció de que el factor de Euler ha segut eliminat en p, d'una atra manera, esta no podria ser p-ádicamente contínua. La continuïtat del membre de la dreta està íntimament relacionada en les congruència de Kummer.

Quan n no és divisible per p−1 llavors açò no es complix usualment; en el seu lloc

$L_p(1-n,\chi )=(1-\chi {\omega }^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi {\omega }^{-n})$

per a sancers positius n. Ací χ està ramificat per una potència del caràcter de Teichmuller ω.

Referències

• (1978).«Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5i année: 1977/78)».Secrétariat Math..Paris:16
• (1979).«Valeurs aux entiers négatifs dones fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques».Inventiones Mathematicae.51(1)

29–59.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01389911.

• (1989).«On p-adic L-functions».Astérisque.(177)

33–59.ISSN 0303-1179.

• (2004).«Fontaine's rings and p-adic L-functions».Consultat el 8 de giner de 2012.
• (1980).«Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields».Inventiones Mathematicae.59(3)

227–286.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01453237.

• (1969).«On p-adic L-functions».Annals of Mathematics. Second Séries.Annals of Mathematics.89(1)

198–205.ISSN 0003-486X.doi:10.2307/1970817.

• (1972).«Lectures on p-adic L-functions».Princeton University Press.
• (1975).«Algebraic geometry».American Mathematical Society.Providence, R.I.:29

479–506.

• (1984).«p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• ^{[enllaç trencat]}
• (1973).«Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972)».Springer-Verlag.Berlin, New York:350

191–268.doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4.