Fòrmula de Riemann–Siegel

En matemàtica, la fòrmula de Riemann–Siegel és una fòrmula asintòtica per a l'error que es comet en la equació funcional aproximada de la funció zeta de Riemann, una aproximació de la funció zeta per mig de les suma de dos séries de Dirichlet finitas. Esta va ser trobada per Siegel (1932) en uns manuscrits no publicats de Bernhard Riemann al voltant dels anys 1850s. Siegel va convertir esta en la fòrmula integral de Riemann–Siegel, una expressió per a la funció zeta en la que intervenen integrals de contorn. És a sovint usada per a calcular valors de la fòrmula de Riemann–Siegel, a voltes en combinació en l'algoritme de Odlyzko–Schönhage, la qual cosa aumenta la velocitat dels càlculs considerablement.

Si M i N són dos número entero no negatius, llavors la funció zeta és igual a

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}}+R(s)$

a on:

• $\gamma (s)={\pi }^{1/2-s}\Gamma (s/2)/\Gamma ((1-s)/2)$    és un factor que apareix en l'equació funcional ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s), i

• $R(s)=\frac{-\Gamma (1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x{)}^{s-1}{e}^{-Nx}dx}{e^x-1}$     és una integral de contorn, el contorn del qual comença i termina en +∞ i circumferències de singularitats d'un valor absolut com a molt 2πM. L'equació funcional aproximada dona una estimació del tamany del terme error.Siegel (1932) i Edwards (1974) varen derivar la fòrmula de Riemann–Siegel formula per a este fi, per mig de l'aplicació del método del descens més ràpit a esta integral, la qual cosa dona una expansió asintòtica per al terme error R(s) com una série de potències negatives de Im(s).

En aplicacions, s està usualment en la llínea crítica, i els sancers positius M i N són triats de tal manera que estiguen propencs a (2π Im(s))^1/2.Gabcke (1979) va trobar uns bons llímits per al terme d'error de la fòrmula Riemann–Siegel.

Fòrmula integral de Riemann

Riemann va mostrar que

a on el contorn d'integració és una llínea de pendent −1 que passa entre 0 i 1 Plantilla:Harv.

Ell va usar este método per a donar la següent fòrmula integral per a la funció zeta:

${\pi }^{-\frac{s}{2}}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\underset{0\swarrow 1}{\int }\frac{x^{-s}{e}^{\pi i{x}^2}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}dx+{\pi }^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma \left(\frac{1-s}{2}\right)\underset{0\searrow 1}{\int }\frac{x^{s-1}{e}^{-\pi i{x}^2}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}dx$

Referències

• Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlín: Springer-Verlag, 1966.