Fòrmula de Grassmann

Erro al crear miniatura:

Dos plans i la seua recta intersecció. Estos determinen subespacios de R³.

En àlgebra llineal i en geometria afí, la fòrmula de Grassmann és una expressió que relaciona la dimensió de dos subespacios en les dimensions de l'intersecció i de la suma de dits subespacios.

Com a eixemple, consideren-se dos plans en l'espai de tres dimensions, de modo que compartixquen un orige comú. Cada u d'estos plans, per separat, té dos dimensions. Si els plans són distints, els seus punts són coincidentes sobre una mateixa recta que determina la seua intersecció.

Cada pla pot considerar-se com un subespacio de dos dimensions, i la recta com el subespacio intersecció. La suma d'abdós plans constituïx tot l'espai, per ser este últim el de màxima dimensió possible. La dimensió d'este espai suma és tres.

Si se sumen les dimensions dels plans individuals i es resta la dimensió de la recta, s'obté la dimensió de l'espai tridimensional. Per lo tant, baix estes condicions, és possible afirmar que la dimensió de l'espai suma és igual a la suma de les dimensions dels subespacios individuals, menys la seua intersecció. Este últim és, precisament, l'enunciat de Grassmann.

Enunciat

Donat un espai vectorial sobre un cos qualsevol, siguen O i V dos conjunts que determinen subespacios. La fòrmula de Grassmann relaciona les dimensions de O i V de la següent manera.

dim(O + V) = dim O + dim V — dim(O ∩ V)

Demostració

Sean dos subespacios vectorials O i V, en un espai vectorial definit sobre un cos $𝕂$. Consideren-se les bases

• $B_1=\{a_1,\dots ,a_r,u_1,\dots ,u_p\}$
• $B_2=\{a_1,\dots ,a_r,v_1,\dots ,v_q\}$
• $B_3=\{a_1,\dots ,a_r\}$

i el sistema $B_4=\{a_1,\dots ,a_r,u_1,\dots ,u_p,v_1,\dots ,v_q\}$ de modo que es complixca $U\cap V=\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}(B_3)$, llavors $U=\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}(B_1)$ i $V=\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}(B_2)$, basta completar $B_3$ en els vectores corresponents. Ademés, com $B_4=B_1\cup B_2$, es té $U+V=\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}(B_4)$.

És necessari demostrar primer que el sistema $B_4$ és efectivament una base, per a açò n'hi ha prou en que les seues vectores siguen linealment independents, ya que generen al subespacio suma $U+V$.

Segons les propietats de la suma,

$p+q+r=(p+r)+(q+r)-r$

pero açò equival a

$\dim (U+V)=\dim (U)+\dim (V)-\dim (U\cap V)$

QED.

Vore també

• Espai vectorial
• Subespacio vectorial
• Dimensió d'un espai vectorial
• Sistema generador
• Base d'un espai vectorial