Distribució marginal

Image representativa d'una distribució gaussiana multivariada i les seues respectives marginals.

En teoria de provabilitats, la distribució marginal és la distribució de provabilitat d'un subconjunt de variables aleatòries d'un conjunt de variables aleatòries. La distribució marginal proporciona la provabilitat d'un subconjunt de valors del conjunt sense necessitat de conéixer els valors de les atres variables. Açò contrasta en la distribució condicional, que proporciona provabilitats contingents sobre el valor conegut d'atres variables.

El terme variable marginal s'usa per a referir-se a una variable del subconjunt de retingut i els valors del qual poden ser coneguts. La distribució de les variables marginals, la distribució marginal, s'obté marginalizando sobre la distribució de variables descartades i les variables descartades es diuen a voltes variables marginalizadas.

El cas més simple és el de dos variables aleatòries reals $X$ i $Y$ per a la que es conega la seua distribució de provabilitat conjunta $F_{X,Y}(x,y)$, llavors la distribució marginal de $X$ és la distribució de provabilitat $F_X(x)$ de $X$ fent cas omís de l'informació referent a $Y$. Per a les variables aleatòries discretes, la llei de provabilitat marginal $\mathrm{P}[X=x]$ s'escriu

$\mathrm{P}[X=x]=\sum _y\mathrm{P}[X=x,Y=y]=\sum _y\mathrm{P}[X=x|Y=y]\mathrm{P}[Y=y]$

a on $\mathrm{P}[X=x,Y=y]$ denota la distribució conjunta de $X$ i $Y$, mentres que $\mathrm{P}[X=x|Y=y]$ denota la distribució condicional de $X$ coneixent $Y$. Esta és la lliçó principal del Teorema de la provabilitat total. De la mateixa manera, per a variables aleatòries contínues, la densitat de provabilitat marginal p_X (x) verifica

$p_X(x)=\underset{y}{\int }{p}_{X,Y}(x,y)\text{d}y=\underset{y}{\int }{p}_{X|Y}(x|y)p_Y(y)\text{d}y$

a on $p_{X,Y}$ dona la distribució conjunta de $X$ i $Y$, i $p_{X|Y}|(x|y)$ la distribució condicional de $X$ coneixent $Y$.

Este tipo de càlcul es produïx quan es considera l'estudi d'una taula de contingència.

Referències

Bibliografia

• Everitt, B. S. (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press. ISBN 0-521-81099-x.
• Trumpler, Robert J. and Harold F. Weaver (1962). Statistical Astronomy, Dover Publications.

Enllaços externs

• Obtenció distribució marginal a partir de distribució conjunta d'una variable bidimensional discreta en R-Project