Desigualtat de Friedrichs

En matemàtiques la desigualtat de Friedrichs és un teorema d'anàlisis funcional gràcies a Kurt Friedrichs. Es coloca el llímit en la norma L^p d'una funció utilisant llímits L^p en les derivades dèbils de la funció i de la geometria del domini, i es pot utilisar per a mostrar que certes normes en espais de Sóbolev són equivalents.

Discussió de la desigualtat

Siga Ω un conjunt acotat del espai euclídeo Rⁿ en diàmetro d. Supongam o : Ω → R residix en un espai de Sóbolev $W_0^{k,p}(\Omega )$ (i.i. o residix en W^k,p(Ω) i el soport de o és compacte). Llavors:

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\Omega )}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\Omega )}^p)}^{1/p}.$

En lo anterior

• $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p(\Omega )}$ denota la norma L^p;
• α = (α₁, ..., α_n) és un multiíndice en norma |α| = α₁ + ... + α_n;
• D^αo és la derivada parcial

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}.$

Vore també

• Desigualtat de Poincaré