Corriment al roig gravitacional

Corriment al roig gravitacional

En física i relativitat general, el corriment al roig gravitacional o desplaçament al roig gravitacional (conegut com "desplaçament d'Einstein" en la lliteratura antiga) és el fenomen pel qual les ones electromagnètiques o fotons que viagen fòra d'un pou gravitacional perden energia. Esta pèrdua d'energia correspon a una disminució en la freqüència de l'ona i un aument en la llongitut d'ona, conegut més generalment com "desplaçament al roig". L'efecte opost, en el que els fotons guanyen energia en viajar cap a un pou gravitacional, es coneix com a desplaçament al blau gravitacional (un tipo de "desplaçament al blau"). L'efecte va ser descrit per primera volta per Einstein en 1907, huit anys abans de la publicació de la teoria completa de la relativitat.

El corriment al roig gravitacional pot interpretar-se com una conseqüència del principi d'equivalència (els efectes gravitacionals són localment equivalents als efectes inerciales i el desplaçament al roig és causat pel efecte Doppler) o com una conseqüència de l'equivalència massa-energia i la conservació de l'energia (els fotons que «cauen» guanyen energia), encara que existixen numeroses subtilea que compliquen una derivació rigorosa. El desplaçament al roig gravitacional també pot interpretar-se de manera equivalent com a dilació temporal gravitacional en la font de radiació: si dos osciladors (conectats a transmissors que produïxen radiació electromagnètica) operen a diferents potencials gravitacionals, l'oscilador en el potencial gravitacional més alt (més llunt del cos atractiu) marcarà més ràpit; és dir, quan s'observa des de la mateixa ubicació, tindrà una freqüència medida més alta que l'oscilador en el potencial gravitacional més baix (més prop del cos atractiu).

A primera aproximació, el desplaçament al roig gravitacional és proporcional a la diferència en potencial gravitacional dividida per la velocitat de la llum al quadrat, $z=\Delta U/c^2$, lo que resulta en un efecte molt menut. La llum que escapa de la superfície del Sol va ser predita per Einstein en 1911 per a desplaçar-se al roig en aproximadament 2 ppm o 2 × 10⁻⁶. Les senyals de navegació dels satèlits GPS que orbitan a de altitut es perceben desplaçades al blau en aproximadament 0.5 ppb o 5 × 10⁻¹⁰, lo que correspon a un aument (insignificant) de menys d'1 Hz en la freqüència d'una senyal de radi GPS d'1.5 GHz (no obstant, la dilació temporal gravitacional que afecta al rellonge atòmic en el satèlit és crucialment important per a una navegació precisa). En la superfície de la Terra, el potencial gravitacional és proporcional a l'altura, $\Delta U=g\Delta h$, i el desplaçament al roig corresponent és aproximadament 10⁻¹⁶ (0.1 parts per cuatrillón) per metro de canvi en elevació i/o altitut.

En astronomia, la magnitut del desplaçament al roig gravitacional a sovint s'expressa com la velocitat que crearia un desplaçament equivalent a través del efecte Doppler relativiste. En estes unitats, el desplaçament al roig de 2 ppm de la llum solar correspon a una velocitat de recessió de 633 m/s, aproximadament de la mateixa magnitut que els moviments convectivos en el Sol, lo que complica la medició. La velocitat equivalent del desplaçament al blau gravitacional dels satèlits GPS és inferior a 0.2 m/s, lo que és insignificant en comparació al desplaçament Doppler real resultant de la seua velocitat orbital. En objectes astronòmics en camps gravitacionals forts, el desplaçament al roig pot ser molt major; per eixemple, la llum de la superfície d'una nana blanca es desplaça al roig gravitacionalment en promig al voltant de (50 km/s)/c (al voltant de 170 ppm).

Observar el desplaçament al roig gravitacional en el sistema solar és una de les proves clàssiques de la relativitat general. Medir el desplaçament al roig gravitacional en alta precisió en rellonges atòmics pot servir com una prova de la simetria de Lorentz i guiar les busques de matèria obscura.

Predicció pel principi d'equivalència i la relativitat general

Camp gravitacional uniforme o acceleració

La teoria de la relativitat general d'Einstein incorpora el principi d'equivalència, que pot enunciar-se de vàries maneres. Una d'estes és que els efectes gravitacionals són localment indetectables per a un observador en caiguda lliure. Per lo tant, en un experiment de laboratori en la superfície de la Terra, tots els efectes gravitacionals deurien ser equivalents als efectes que s'observarien si el laboratori estiguera accelerant a través de l'espai exterior a g. Una conseqüència és un efecte Doppler gravitacional. Si s'emet un pols de llum en el sol del laboratori, un observador en caiguda lliure diria que para quan aplega al sostre, el sostre s'ha alluntat acceleradament d'ell, i per lo tant, quan és observat per un detector fix en el sostre, s'observarà que s'ha desplaçat Doppler cap a l'extrem roig de l'espectre. Este desplaçament, que l'observador en caiguda lliure considera un desplaçament Doppler cinemàtic, és considerat per l'observador del laboratori com un desplaçament al roig gravitacional. Este efecte va ser verificat en l'experiment de Pound–Rebka de 1959. En un cas com a est, a on el camp gravitacional és uniforme, el canvi en la llongitut d'ona es dona per

$z=\frac{\Delta \lambda }{\lambda }\approx \frac{g\Delta y}{c^2},$

a on $\Delta y$ és el canvi en altura. Ya que esta predicció sorgix directament del principi d'equivalència, no requerix de l'aparat matemàtic de la relativitat general, i la seua verificació no recolza específicament la relativitat general sobre qualsevol atra teoria que incorpore el principi d'equivalència.

En la superfície de la Terra (o en una nau espacial accelerant a 1 g), el desplaçament al roig gravitacional és aproximadament 1.1×10⁻¹⁶ , l'equivalent a un desplaçament Doppler de 3.3×10⁻⁸ m/s per cada 1 m d'altitut.

Camp gravitacional simètric esfèric

Quan el camp no és uniforme, el cas més simple i útil a considerar és el d'un camp simètric esfèric. Segons la teorema de Birkhoff, tal camp es descriu en la relativitat general per la mètrica de Schwarzschild, $d{\tau }^2=(1-r_{\text{S}}/R)d{t}^2+\dots$, a on $d\tau$ és el temps del rellonge d'un observador a una distancia R del centre, $dt$ és el temps medit per un observador en l'infinit, $r_{\text{S}}$ és el radi de Schwarzschild $2GM/c^2$, "..." representa térmens que desapareixen si l'observador està en repòs, $G$ és la constant gravitacional de Newton, $M$ la massa del cos gravitacional, i $c$ la velocitat de la llum. El resultat és que les freqüències i llongituts d'ona es desplacen segons la proporció

$1+z=\frac{{\lambda }_{\mathrm{\infty }}}{{\lambda }_{\text{e}}}={(1-\frac{r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}})}^{-\frac{1}{2}}$

a on

• ${\lambda }_{\mathrm{\infty }}$és la llongitut d'ona de la llum medida per l'observador en l'infinit,
• ${\lambda }_{\text{e}}$ és la llongitut d'ona medida en la font d'emissió, i
• $R_{\text{e}}$ és el radi en el que s'emet el fotó.

Açò pot relacionar-se en el paràmetro de desplaçament al roig definit convencionalment com $z={\lambda }_{\mathrm{\infty }}/{\lambda }_{\text{e}}-1$.

En el cas en que ni l'emissor ni l'observador estiguen en l'infinit, la transitividad dels desplaçaments Doppler permet generalisar el resultat a ${\lambda }_1/{\lambda }_2={[(1-r_{\text{S}}/R_1)/(1-r_{\text{S}}/R_2)]}^{1/2}$. La fòrmula del desplaçament al roig per a la freqüència $\nu =c/\lambda$ és ${\nu }_o/{\nu }_{\text{e}}={\lambda }_{\text{e}}/{\lambda }_o$. Quan $R_1-R_2$ és menut, estos resultats són consistents en l'equació donada anteriorment basada en el principi d'equivalència.

La proporció de desplaçament al roig també pot expressar-se en térmens d'una velocitat d'escape (newtoniana) $v_{\text{e}}$ en $R_{\text{e}}=2GM/v_{\text{e}}^2$, resultant en el corresponent factor de Lorentz:

$1+z={\gamma }_{\text{e}}=\frac{1}{\sqrt{1-(v_{\text{e}}/c{)}^2}}$.

Per a un objecte lo suficientment compacte com per a tindre un horisó d'events, el desplaçament al roig no està definit per als fotons emesos dins del radi de Schwarzschild, tant perque les senyals no poden escapar des de dins de l'horisó com perque un objecte com l'emissor no pot estar estacionario dins de l'horisó, com es va assumir anteriorment. Per lo tant, esta fòrmula solament s'aplica quan $R_{\text{e}}$ és major que $r_{\text{S}}$. Quan el fotó s'emet a una distància igual al radi de Schwarzschild, el desplaçament al roig serà infinitament gran, i no escaparà a cap distància finita de l'esfera de Schwarzschild. Quan el fotó s'emet a una distància infinitament gran, no hi ha desplaçament al roig.

Llímit newtoniano

En el llímit newtoniano, és dir, quan $R_{\text{e}}$ és suficientment gran en comparació al radi de Schwarzschild $r_{\text{S}}$, el desplaçament al roig pot aproximar-se com

$z=\frac{\Delta \lambda }{\lambda }\approx \frac{1}{2}\frac{r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}=\frac{GM}{R_{\text{e}}{c}^2}=\frac{g{R}_{\text{e}}}{c^2}$

a on $g$ és l'acceleració gravitacional en $R_{\text{e}}$. Per a la superfície de la Terra sobre l'infinit, z és aproximadament 7×10⁻¹⁰ (l'equivalent a un desplaçament Doppler radial de 0.2 m/s); per a la Lluna és aproximadament 3×10⁻¹¹ (al voltant d'1 cm/s). El valor per a la superfície del Sol és aproximadament 2×10⁻⁶, corresponent a 0.64 km/s. (Per a velocitats no relativistes, la velocitat equivalent Doppler radial pot aproximar-se multiplicant z per la velocitat de la llum.)

El valor z pot expressar-se sucintamente en térmens de la velocitat d'escape en $R_{\text{e}}$, ya que el potencial gravitacional és igual a la mitat del quadrat de la velocitat d'escape, per lo tant:

$z\approx \frac{1}{2}{\left(\frac{v_{\text{e}}}{c}\right)}^2$

a on $v_{\text{e}}$ és la velocitat d'escape en $R_{\text{e}}$.

També pot relacionar-se en la velocitat d'òrbita circular $v_{\text{o}}$ en $R_{\text{e}}$, que és igual a $v_{\text{e}}/\sqrt{2}$, per lo tant

$z\approx {\left(\frac{v_{\text{o}}}{c}\right)}^2$.

Per eixemple, el desplaçament al blau gravitacional de la llum estelar lluntana per la gravetat del Sol, que la Terra orbita a aproximadament 30 km/s, seria aproximadament 1 × 10⁻⁸ o l'equivalent a un desplaçament Doppler radial de 3 m/s.

Per a un objecte en una òrbita (circular), el desplaçament al roig gravitacional és d'una magnitut comparable a l'efecte Doppler travesser, $z\approx \frac{1}{2}{\beta }^2$ a on β = v/c, mentres que abdós són molt menors que l'efecte Doppler radial, per al qual $z\approx \beta$.

Predicció del llímit newtoniano usant les propietats dels fotons

Desplaçament gravitatorio al roig d'una ona lluminosa quan es desplaça cap a dalt contra un camp gravitatorio (produït per l'estrela groga d'avall). L'efecte és molt exagerat en este diagrama.

La fòrmula per al desplaçament al roig gravitacional en el llímit newtoniano també pot derivar-se utilisant les propietats d'un fotó:

En un camp gravitacional $\overrightarrow{g}$ una partícula de massa $m$ i velocitat $\overrightarrow{v}$ canvia la seua energia $E$ segons:

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=m\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{p}$.

Per a un fotó sense massa descrit per la seua energia $E=h\nu =\hslash \omega$ i moment $\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k}$, esta equació es convertix, despuix de dividir per la constant de Planck $\hslash$, en:

$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{k}$

Insertant el camp gravitacional d'un cos esfèric de massa $M$ dins de la distància $\overrightarrow{r}$

$\overrightarrow{g}=-GM\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

i el vector d'ona d'un fotó que ix del camp gravitacional en direcció radial

$\overrightarrow{k}=\frac{\omega }{c}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

l'equació d'energia es convertix en

$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=-\frac{GM}{c}\frac{\omega }{r^2}.$

Usant $\mathrm{d}r=c\mathrm{d}t$ s'obté una equació diferencial ordinària que solament depén de la distància radial $r$:

$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}r}=-\frac{GM}{c^2}\frac{\omega }{r^2}$

Per a un fotó que comença en la superfície d'un cos esfèric en un radi $R_e$ en una freqüència ${\omega }_0=2\pi {\nu }_0$, la solució analítica és:

$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}r}=-\frac{GM}{c^2}\frac{\omega }{r^2}\Rightarrow \omega (r)={\omega }_0\exp (-\frac{GM}{c^2}(\frac{1}{R_e}-\frac{1}{r}))$

A una gran distància del cos $r\to \mathrm{\infty }$, un observador medix la freqüència:

${\omega }_{\text{obs}}={\omega }_0\exp (-\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R_e}\right))\simeq {\omega }_0(1-\frac{GM}{R_e{c}^2}+\frac{1}{2}\frac{G^2{M}^2}{R_e^2{c}^4}-\dots ).$

Per lo tant, el desplaçament al roig és:

$z=\frac{{\omega }_0-{\omega }_{\text{obs}}}{{\omega }_{\text{obs}}}=\frac{1-\exp (-\frac{GM}{R_e{c}^2})}{\exp (-\frac{GM}{R_e{c}^2})}=\frac{1-\exp (-\frac{r_S}{2R_e})}{\exp (-\frac{r_S}{2R_e})}$

En l'aproximació llineal

$z=\frac{\frac{GM}{R_e{c}^2}-\frac{1}{2}\frac{G^2{M}^2}{R_e^2{c}^4}+\dots }{1-\frac{GM}{R_e{c}^2}+\frac{1}{2}\frac{G^2{M}^2}{R_e^2{c}^4}-\dots }\simeq \frac{\frac{GM}{R_e{c}^2}}{1-\frac{GM}{R_e{c}^2}+\frac{1}{2}\frac{G^2{M}^2}{R_e^2{c}^4}-\dots }\simeq \frac{GM}{c^2{R}_e}$

s'obté el llímit newtoniano per al desplaçament al roig gravitacional de la relativitat general.

Història

El carpiment gravitacional de la llum d'estreles d'alta gravetat va ser predit per John Michell en 1783 i Pierre-Simon Laplace en 1796, usant el concepte de corpúsculs de llum d'Isaac Newton (vore: teoria de l'emissió) i els qui varen predir que algunes estreles tindrien una gravetat tan forta que la llum no podria escapar. L'efecte de la gravetat sobre la llum va ser després explorat per Johann Georg von Soldner (1801), qui va calcular la cantitat de deflexión d'un raig de llum pel Sol, aplegant a la resposta newtoniana que és la mitat del valor predit per la relativitat general. Tot este treball primerenc va assumir que la llum podia ralentisar-se i caure, lo que és inconsistente en la comprensió moderna de les ones lumínicas.

L'artícul d'Einstein de 1917 sobre la relativitat general va propondre tres proves: el temps del perihelio de Mercurio, la deflexión de la llum al voltant del Sol i el canvi en la freqüència de la llum que emergix d'un potencial gravitacional diferent, ara cridat desplaçament al roig gravitacional. D'estes, el desplaçament al roig va resultar difícil d'entendre i medir de manera convincent per als físics. Una mescla confusa de problemes complexos i sotils afecta inclús a les descripcions dels llibres de text famosos del fenomen.

Una volta que es va acceptar que la llum era una ona electromagnètica, va quedar clar que la freqüència de la llum no deuria canviar d'un lloc a un atre, ya que les ones d'una font en una freqüència fixa mantenen la mateixa freqüència en tots els llocs. Una forma d'evitar esta conclusió seria si el temps mateixa s'alteraraPlantilla:Snd si els rellonges en diferents punts tingueren diferents taxes. Esta va anar precisament la conclusió d'Einstein en 1911. Va considerar una caixa en acceleració i va notar que, segons la teoria de la relativitat especial, la taxa del rellonge en la «base» de la caixa (el costat opost a la direcció de l'acceleració) era més llenta que la taxa del rellonge en el «cim» (el costat cap a la direcció de l'acceleració). De fet, en un marc que es mou (en la direcció $x$) en velocitat $v$ relativa al marc de repòs, els rellonges en una posició propenca $dx$ estan alvançats per $(dx/c)(v/c)$ (al primer orde); per lo que una acceleració $g$ (que canvia la velocitat per $g/dt$ per temps $dt$) fa que els rellonges en la posició $dx$ estiguen alvançats per $(dx/c)(g/c)dt$, és dir, marquen a una taxa

$R=1+(g/c^2)dx$

El principi d'equivalència implica que este canvi en la taxa del rellonge és el mateix ya siga que l'acceleració $g$ siga la d'un marc accelerat sense efectes gravitacionals, o causada per un camp gravitacional en un marc estacionario. Ya que l'acceleració pel potencial gravitacional $V$ és $-dV/dx$, obtenim

$\frac{dR}{dx}=g/c^2=-\frac{dV/c^2}{dx}$

per lo que – en camps dèbils – el canvi $\Delta R$ en la taxa del rellonge és igual a $-\Delta V/c^2$.

Les taxes de rellonge canviants varen permetre a Einstein concloure que les ones lumínicas canvien de freqüència a mida que es mouen, i la relació freqüència/energia per als fotons li va permetre vore que açò s'interpretava millor com l'efecte del camp gravitacional en la massa-energia del fotó. Per a calcular els canvis en la freqüència en un camp gravitacional casi estàtic, solament el component temporal del tensor mètric és important, i l'aproximació d'orde més baix és suficientment precisa per a estreles i planetes ordinaris, que són molt més grans que el seu ràdio de Schwarzschild.

Observacions astronòmiques

Varis experimentadores inicialment varen afirmar haver identificat l'efecte utilisant medicions astronòmiques, i es va considerar que l'efecte havia segut finalment identificat en les llínees espectrals de l'estrela Siri B per W.S. Adams en 1925. No obstant, les medicions d'Adams han segut criticades per ser massa baixes i estes observacions ara es consideren medicions d'espectres inutilisables per la llum dispersada del primari, Siri A. La primera medició precisa del desplaçament al roig gravitacional d'una nana blanca va ser realisada per Popper en 1954, medint un desplaçament al roig gravitacional de 21 km/s de 40 Eridani B. El desplaçament al roig de Siri B va ser finalment medit per Greenstein et al. en 1971, obtenint el valor per al desplaçament al roig gravitacional de 89±16 km/s, en medicions més precises pel Telescopi Espacial Hubble, mostrant 80.4±4.8 km/s.

James W. Brault, un estudiant de postgrau de Robert Dicke en l'Universitat de Princeton, va medir el desplaçament al roig gravitacional del Sol usant métodos òptics en 1962. En 2020, un equip de científics va publicar la medició més precisa fins ara del desplaçament al roig gravitacional solar, feta en analisar llínees espectrals de Fe en la llum solar reflectida per la Lluna; la seua medició d'un desplaçament de llínea global mig de 638 ± 6 m/s està d'acort en el valor teòric de 633.1 m/s. Medir el desplaçament al roig solar es complica pel desplaçament Doppler causat pel moviment de la superfície del Sol, que és d'una magnitut similar a l'efecte gravitacional.

En 2011, el grup de Radek Wojtak de l'Institut Niels Bohr en l'Universitat de Copenhague va recopilar senyes de 8000 cúmuls de galàxies i va trobar que la llum provinent dels centres dels cúmuls tendia a estar desplaçada al roig en comparació a les vores dels cúmuls, confirmant la pèrdua d'energia per la gravetat.

En 2018, l'estrela S2 va fer el seu acostament més propenc a Sgr A*, el forat negre supermasivo de 4 millons de masses solars en el centre de la Via Làctea, alcançant 7650 km/s o al voltant del 2.5% de la velocitat de la llum mentres passava pel forat negre a una distància de sol 120 UA, o 1400 ràdios de Schwarzschild. Anàlisis independents per la colaboració GRAVITY (liderada per Reinhard Genzel) i el Grup del Centre Galàctic KECK/UCLA (liderat per Andrea Ghez) varen revelar un Doppler travesser combinat i un desplaçament al roig gravitacional de fins a 200 km/s/c, en acort en les prediccions de la relativitat general.

En 2021, Mediavilla (IAC, Espanya) i Jiménez-Vicente (UGR, Espanya) varen poder usar medicions del desplaçament al roig gravitacional en cuásares fins a un desplaçament al roig cosmológico de z ≈ 3 per a confirmar les prediccions del principi d'equivalència d'Einstein i la falta d'evolució cosmológica dins del 13%.

En 2024, Padilla et al. varen estimar els desplaçaments al roig gravitacionals de forats negres supermasivos (SMBH) en huit mil cuásares i cent galàxies de tipo Seyfert 1 a partir de l'ample total a la mitat del màxim (FWHM) de les seues llínees d'emissió, trobant log z ≈ −4, compatible en SMBHs de 1 billó de masses solars i regions de llínees amples de 1 parsec de ràdio. Este mateix desplaçament al roig gravitacional va ser medit directament per estos autors en la mostra SAMI de galàxies LINER, usant les diferències de desplaçament al roig entre les llínees emeses en les regions centrals i externes.

Proves terrestres

Entre 1925 i 1955, es varen fer pocs intents per a medir el desplaçament al roig gravitacional. L'efecte ara es considera definitivament verificat pels experiments de Pound, Rebka i Snider entre 1959 i 1965. l'experiment de Pound–Rebka de 1959 va medir el desplaçament al roig gravitacional en llínees espectrals usant una font terrestre de ⁵⁷Fe de rajos gamma sobre una altura vertical de 22.5 metros. Este artícul va ser la primera determinació del desplaçament al roig gravitacional que va usar medicions del canvi en la llongitut d'ona de fotons de rajos gamma generats en l'efecte Mössbauer, que genera radiació en un ample de llínea molt estret. La precisió de les medicions de rajos gamma va ser típicament del 1%.

Un experiment millorat va ser realisat per Pound i Snider en 1965, en una precisió millor que el nivell del 1%.

Un experiment de desplaçament al roig gravitacional molt precís va ser realisat en 1976, a on un rellonge màser d'hidrogen en una eixida va ser llançat a una altitut de 10000 km, i la seua taxa es va comparar en un rellonge idèntic en terra. Va provar el desplaçament al roig gravitacional al 0.007%.

Les proves posteriors es poden realisar en el Sistema de Posicionament Global (GPS), que deu tindre en conte el desplaçament al roig gravitacional en el seu sistema de cronometraje, i els físics han analisat les senyes de cronometraje de el GPS per a confirmar atres proves. Quan es va llançar el primer satèlit, va mostrar el desplaçament predit de 38 microsegons per dia. Esta taxa de discrepància és suficient per a afectar substancialment la funció de el GPS en hores si no es té en conte. Un excelent relat del paper que juga la relativitat general en el disseny de el GPS es pot trobar en Ashby 2003.

En 2010, un experiment va colocar dos rellonges quàntics de ions d'alumini prop un de l'atre, pero en el segon elevat 33 cm en comparació al primer, fent visible l'efecte del desplaçament al roig gravitacional en escales de laboratori quotidianes.

En 2020, un grup en l'Universitat de Tòquio va medir el desplaçament al roig gravitacional de dos rellonges òptics d'estronci-87 en Tòquio Skytree a on els rellonges estaven separats per aproximadament 450 m i conectats per fibres de telecomunicacions. El desplaçament al roig gravitacional pot expressar-se com

$z=\frac{\Delta \nu }{{\nu }_1}=(1+\alpha )\frac{\Delta U}{c^2}$,

a on $\Delta \nu ={\nu }_2-{\nu }_1$ és el desplaçament al roig gravitacional, ${\nu }_1$ és la freqüència de transició del rellonge òptic, $\Delta U=U_2-U_1$ és la diferència en el potencial gravitacional, i $\alpha$ denota la violació de la relativitat general. Per espectroscòpia de Ramsey de la transició del rellonge òptic d'estronci-87 (429 THz, 698 nm), el grup va determinar el desplaçament al roig gravitacional entre els dos rellonges òptics com 21.18 Hz, corresponent a un valor z d'aproximadament 5 × 10⁻¹⁴. El seu valor medit de $\alpha$, $(1.4\pm 9.1)\times 10^{-5}$, està en acort en medicions recents fetes en màsers d'hidrogen en òrbites elíptiques.

En octubre de 2021, un grup en JILA liderat pel físic Jun Ye va reportar una medició del desplaçament al roig gravitacional en l'escala de submilímetros. La medició es va realisar en la transició del rellonge ⁸⁷Sr entre la part superior i inferior d'un núvol ultrafria de 100,000 àtoms d'estronci en una ret òptica.