Condició de frontera de Cauchy

En matemàtica, les condiciones de frontera de Cauchy en equacions diferencials ordinàries o en equacions diferencials parcials imponen valors específics a la solució d'una equació diferencial que es pren de la frontera del domini i de la derivada normal a la frontera. Açò és igual a impondre dos tipos de condicions: la condició de frontera de Dirichlet i la condició de frontera de Neumann. El seu nom fa honor al prolífero matemàtic francés de el XIX Augustin Louis Cauchy.

Les condicions de Cauchy són també cridades condicions de valor inicial o valors inicials o simplement valors de Cauchy.

Descripció

Les condicions de frontera de Cauchy poden ser enteses des de la teoria d'equacions diferencials ordinàries de segon orde a on es té una solució particular que especifica el valor de la funció i el valor de la derivada prenent valors inicials o punts de frontera, aixina per eixemple:

$\{\begin{array}{c}y(a)=\alpha \\ y^{\prime }(a)=\beta \end{array}$

a on $a$ és la frontera o punt inicial. Les condicions de frontera de Cauchy són una generalisació d'estos tipos de condicions. Les derivades parcials poden ser escrites d'una forma més simple de la següent:

$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$

$u_{xy}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$

Definim una equació diferencial parcial de segon orde:

${\psi }_{xx}+{\psi }_{yy}=\psi (x,y)$

Tenim un domini de dos dimensions la frontera de les quals és una llínea, que pot ser descrita per les següents equacions paramètriques:

$x=\xi (s)$

$y=\eta (s)$

aixina, de manera similar que en les equacions diferencials ordinàries de segon orde, necessitem ara conéixer el valor de la funció en la frontera i la seua derivada normal a esta per a trobar la solució de l'equació diferencial parcial, és dir, que:

$\{\begin{array}{c}\psi (s)\\ \frac{d\psi }{dn}(s)=𝐧\cdot \mathrm{\nabla }\psi \end{array}$

siguen especificats en cada punt de la frontera en el domini donat per l'equació diferencial parcial, a on $\mathrm{\nabla }\psi (s)$ és el gradient de la funció. Es diu a voltes que eixes condicions de frontera de Cauchy són una mija ponderada de l'imposició de les condiciones de frontera de Dirichlet i les condiciones de frontera de Neumann. Açò no deu confondre's en l'estadística d'objectes tals com la mija ponderada, la mija geomètrica ponderada o la mija harmònica ponderada, ya que cap d'estes fòrmules s'utilisen en l'imposició de les condicions de frontera de Cauchy. Pel contrari, el terme mija ponderada significa que durant l'anàlisis d'un determinat problema de valor de frontera, es deu tindre en conte tota l'informació disponible per a la seua bon plantejat i posterior solució satisfactòria.

Ya que el paràmetro $s$ és per lo general el temps, les condicions de Cauchy també poden ser cridades condicions de valor inicial o valors inicials o simplement valors de Cauchy.

Observe que si be les condicions de frontera de Cauchy impliquen tindre tant les condicions de frontera de Dirichlet com les de Neumann, que no és lo mateix del tot que tindre una condició de frontera de Robin o d'impedència. Una mescla entre les condicions de frontera de Dirichlet i Neumann està donada per

$\alpha (s)\psi (s)+\beta (s)\frac{d\psi }{dn}(s)=f(s)$

a on s'entén que $\alpha (s)$, $\beta (s)$, i $f(s)$ deuen donar-se en la frontera (açò contrasta en el terme condiciones de frontera mixtes, que és generalment usat per a referir-se a condicions de frontera de tipos diferents en subgrups distints de frontera). En este cas la funció i les seues derivades deuen complir una condició dins de la mateixa equació de la condició de frontera.

Eixemple

Definim l'equació de la calor en un espai bidimensional aixina:

$u_t=k{\mathrm{\nabla }}^{2}u$

a on $k$ és la constant específica del material anomenada conductivitat tèrmica, i suponem que tal equació està aplicada a una regió $G$, que esta sobre el semidisco cèntric a l'orige del radi $a$. Suponem també que la temperatura s'acosta a zero en la porció de curva de la frontera, mentres que la porció davantera de la frontera és aïllada, per eixemple podem definir les condicions de frontera de Cauchy com

$u=0\mathrm{\forall }(x,y)\in \{r=a,0\le \theta \le \pi \}$

i

$u_y=0,y=0$

Podem separar les variables considerant que les funcions estan compostes pel producte de la part espacial i la temporal

$u(x,y,t)=\varphi (x,y)\psi (t)$

aplicant este producte a l'equació original obtenim

$\varphi (x,y){\psi }^{\prime }(t)=k{\varphi }^{″}(x,y)\psi (t)$

d'on

$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{k\psi (t)}=\frac{{\varphi }^{″}(x,y)}{\varphi (x,y)}$

A on el costat esquerre depén solament de $t$, mentres que el costat dret depén solament de $(x,y)$, d'a on podem concloure que abdós poden ser iguals a una mateixa constant

$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{k\psi (t)}=-\lambda =\frac{{\varphi }^{″}(x,y)}{\varphi (x,y)}$

Aixina tenim abdós equacions: la primera en variables espacials

${\varphi }_{xx}+{\varphi }_{yy}+\lambda \varphi (x,y)=0$

i una segona en la variable temporal

${\psi }^{\prime }(t)+\lambda k\psi (t)=0$

Una volta que s'imponen les condicions de frontera, la solució de l'equació diferencial ordinària en el temps és

$\psi (t)=A{e}^{-\lambda kt}$

a on A és una constant que pot ser definida de les condicions inicials. La part espacial pot ser resolta de nou per separació de variables, substituint $\varphi (x,y)=X(x)Y(y)$ en l'equació diferencial parcial i dividint per $X(x)Y(y)$ d'a on obtenim després de reorganisar els térmens

$\frac{Y^{″}}{Y}+\lambda =-\frac{X^{″}}{X}$

aixina la part esquerra depén solament d'i la dreta depén solament de x, abdós costats poden ser igual a una constant, denominada $\mu$,

$\frac{Y^{″}}{Y}+\lambda =-\frac{X^{″}}{X}=\mu$

finalment obtenim un parell d'equacions diferencials ordinàries que es poden impondre condicions de frontera per a definir-les.

Vore també

• Condició de frontera de Dirichlet
• Condició de frontera de Neumann
• Condició de frontera mixta
• Condició de frontera de Robin

Referències

• Cooper, Jeffery M. "Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB". ISBN 0-8176-3967-5