Ajust de curves

El resultat de l'ajust d'un conjunt de senyes a una funció quadràtica.

El ajust de curves consistix en trobar una curva que continga una série de punts i que possiblement complixca una série de restriccions adicionals. Esta secció és una introducció tant a l'interpolació (quan s'espera un ajust exacte a determinades restriccions) i a l'ajust de curves/anàlisis de regressió (quan es permet una aproximació).

Ajust de llínees i curves polinòmiques a punts

Escomencem en una equació polinòmica de primer grau:

$y=ax+b$

Esta llínea té pendent a. Sabem que hi haurà una llínea conectant dos punts qualssevol. Per tant, una equació polinòmica de primer grau és un ajust perfecte entre dos punts.

Si aumentem l'orde de l'equació a la d'un polinomi de segon grau, obtenim:

$y=a{x}^2+bx+c$

Açò s'ajustarà exactament a tres punts. Si aumentem l'orde de l'equació a la d'un polinomi de tercer grau, obtenim:

$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

que s'ajustarà a quatre punts.

Una forma més general de dir-ho és que s'ajustarà exactament a quatre restriccions. Cada restricció pot ser un punt, un àngul o una curvatura (que és el recíproc del radi, o 1/R). Les restriccions d'àngul i curvatura se solen afegir als extrems d'una curva, i en tals casos se'ls crida condicions finals. A sovint s'usen condicions finals idèntiques per a assegurar una transició suau entre curves polinòmiques contingudes en una única spline. També es poden afegir restriccions d'orde alt, com "el canvi en la taxa de curvatura". Açò, per eixemple, seria útil en dissenys d'intercanvis en trébol per a incorporacions a autopistes, per a entendre les forces a les que somet a un vehícul i poder establir llímits raonables de velocitat.

Si tenim més de n + 1 restriccions (sent n el grau del polinomi), encara podem fer passar la curva polinòmica per elles. No és segur que vaja a existir un ajust exacte a totes elles (pero podria succeir, per eixemple, en el cas d'un polinomi de primer grau que s'ajusta a tres punts colineales). En general, no obstant, es necessita algun método per a evaluar cada aproximació. El método de mínims quadrats és una manera de comparar les desviacions.

Ara be, podríem preguntar-nos la raó de voler un ajust aproximat quan podríem simplement aumentar el grau de l'equació polinòmica per a obtindre un ajust exacte. Existixen vàries:

• Inclús si existix un ajust exacte, no vol dir necessàriament que pugam trobar-ho. Depenent de l'algoritme que s'use, podríem trobar un cas divergent, a on no es podria calcular l'ajust exacte, o el cost computacional de trobar la solució podria ser molt alt. De qualsevol modo, tindríem que acabar acceptant una solució aproximada.

• Potser preferim l'efecte de promediar senyes qüestionables en una mostra, en lloc de distorsionar la curva per a que s'ajuste a ells de forma exacta.

• Els polinomis de grau superior poden oscilar molt. Si fem passar una curva pels punts A i B, esperaríem que la curva passe també prop del punt mig entre A i B. Açò pugues no succeir en curves polinòmiques de graus alts, ya que poden tindre valors de magnitut positiva o negativa molt gran. En polinomis de grau baix existixen més possibilitats de que la curva passe prop del punt mig (i queda garantisat que passarà exactament per ahí, en els de primer grau).

• Els polinomis de grau baix tendixen a ser suaus i les curves dels polinomis de grau alt tendixen a ser "bulbosas". Per a definir açò en més precisió, el número màxim de punts d'inflexió d'una curva polinòmica és n-2, a on n és el grau de l'equació polinòmica. Un punt d'inflexió és el lloc d'una curva a on canvia de radi positiu a negatiu. Observe's que la "bulbosidad" dels polinomis de grau alt és només una possibilitat, ya que també poden ser suaus, pero no existixen garanties, al contrari que succeïx en els polinomis de grau baix. Un polinomi de grau quinze podria tindre, com a màxim, tretze punts d'inflexió, pero podria tindre també dotze, onze, o qualsevol número fins a zero.

Ara que hem parlat de l'us de graus massa baixos per a conseguir un ajust exacte, comentem qué succeïx si el grau d'una curva polinòmica és major del necessari para dit ajust. Açò és mal per les raons comentades anteriorment si els polinomis són de grau alt, pero també nos du a un cas en que existixca un número infinit de solucions. Per eixemple, un polinomi de primer grau (una llínea) restringit per un únic punt, en lloc dels dos habituals, nos donarà un número infinit de solucions. Açò nos du el problema de cóm comparar i triar una solució única, lo que pot ser un problema tant per a humans com per al software. Per esta raó és millor triar el polinomi de menor grau possible per a obtindre un ajust exacte en totes les restriccions, i potser inclús un grau menor si és acceptable una aproximació a l'ajust.

Per a més informació, vore l'artícul sobre interpolació polinòmica.

Ajust d'atres curves a les senyes

També es poden usar en certs casos atres tipos de curves, com seccions còniques (arcs circulares, elíptics, parabòlics i hiperbòlics) o funcions trigonométricas (com el sen i el coseno). Per eixemple, les trayectòries d'objectes baix l'influència de la gravetat seguixen una curva parabòlica, si s'ignora la resistència de l'aire. Per tant, ajustar els punts d'una trayectòria a una curva parabòlica tindria sentit. Les marees seguixen patrons sinusoide, per tant es podrien ajustar senyes provinents de marees a una ona sinusoidal; o la suma de dos sinusoide de periodo diferent, si es considera l'efecte conjunt de la Lluna i el Sol.

Vore també

• Bondat d'ajust
• Interpolació
• Anàlisis de regressió
• Models de regressió múltiple postulats i no postulats
• Mínims quadrats