Substracció

La substracció o la substracció és una operació aritmètica que, habitualment, es representa en el signe negatiu (−) , encara que no és un signe de resta com a tal; representa l'operació d'eliminació d'objectes d'una colecció. Implica una série de transformacions en una cantitat inicial. Per eixemple, en l'image de la dreta hi ha 5 − 2 bresquilles; significant que a 5 bresquilles li són llevats 2, per lo que hi ha un total de 3 bresquilles. La substracció també mostra la combinació de magnituts físiques i abstractes usant diferents tipos d'objectes: números negatius, fracciones, número irracional, vectores, decimals, funcions, matrius i més.

«5 − 2 = 3» (verbalment, «cinc menys dos és igual a tres»).

Un problema d'eixemple

Substracció de números 0-10. Llínea etiqueta = minuent. eix X = substraent. eix I = diferència..

La resta seguix distints patrons importants; és anticonmutativa, és dir, el canvi de l'orde modifica el signe de la resposta. No és associativa, lo que significa que quan es resten més de dos números importa l'orde en el que es realisa la substracció. Restar 0 no canvia un número. La substracció també obedix a regles predibles relatives a les operacions relacionades, tals com l'adició i la multiplicació. Totes estes regles poden provar-se a partir de la substracció d'número sancer i generalisar-les per mig dels número real i més allà. Les operacions binarias generals que seguixen estos patrons s'estudien en l'àlgebra abstracta.

La resta en edats primerenques

El principi de cardinalidad és important en edats primerenques. Este principi es porta a terme ans que els chiquets conseguixquen quantificar objectes i consistix en l'associació de l'acció de llevar i posar en l'acte d'adició i substracció. Esta acció es porta a terme en involucrar un estat inicial, una transformació i un estat final. Per eixemple, si un chiquet té 6 canicas i li lleven 1, ell o ella sap que li falta 1 canica per a tindre la mateixa cantitat que tenia al principi. Per tant, l'estat inicial és 6, la transformació és − 1 i l'estat final és 5.

Realisar substraccions és una de les tasques numèriques més simples; la substracció de números molt menuts és accessible per als chiquets menuts. En l'educació primària, als estudiants se'ls ensenya a restar números en el sistema decimal, començant en un sol dígit i progressivament abordant problemes més difícils. Les ajudes mecàniques van des de l'antic àbac fins a la computadora o ordenador moderns.

Resta bàsica: número sancer

Imagine un segment de recta de llongitut b en l'extrem esquerre etiquetage a i l'extrem dret etiquetage c. Partint de a, es pren b posicions a la dreta per a aplegar a c. Este moviment cap a la dreta es modela matemàticament per mig de l'adició:

<math> a+b=c </math><br />

De c, es prenen b posicions a l'esquerra per a tornar a a. Este moviment a l'esquerra es modela per substracció:

<math> c - b = a </math>

Ara, un segment de la llínea marcada en els números 1, 2 i 3. Des de la posició 3, no es pren cap pas cap a l'esquerra per a permanéixer en el 3, per lo que 3 &minus; 0 = 3. Es necessiten 2 passos a l'esquerra per a aplegar a la posició 1, per lo que 3 &minus; 2 = 1. Esta image és inadequada per a descriure lo que succeiria despuix de passar 3 passos a l'esquerra de la posició 3. Per a representar dita operació, la llínea deu estendre's.

Per a restar número natural arbitraris, un comença en una llínea que conté cada número natural (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Del 3, es prenen 3 passos a l'esquerra per a aplegar a 0, per lo que 3 - 3 = 0. Pero 3 &minus; 4 encara és inválido, ya que una volta més ix de la llínea. Els número natural no són un context útil para la resta.

La solució és considerar la llínea numèrica entera (..., &minus;3, &minus;2, &minus;1, 0, 1, 2, 3, ...). Del 3, es prenen 4 passos a l'esquerra per a aplegar a &minus;1:

Cartell exterior de tenda en Bordeus publicitando substraccions del 20% del preu d'un segon perfum

<math> 3-4=-1 </math>

Definició de la resta a través de la suma

La resta originalment es definix a través de la suma d'un número positiu i un número negatiu, a través d'eixa definició es pot explicar la resolució de la suma d'un número positiu i un número negatiu:

<math>a+(-b)=a-b</math>

En el següent cas es mostra la resolució d'una suma d'un número positiu i un número negatiu a través de la definició de la resta:

<math>5+(-3)=5-3=2</math>

Resta com a adició

Hi ha alguns casos a on la resta com una operació separada es torna problemàtica. Per eixemple, 3 - (-2) (és dir, restar -2 de 3) no és immediatament obvia des d'un punt de vista del número natural o una vista de llínea de números, perque no està clar de colp i repent lo que significa moure -2 passos a l'esquerra o llevar -2 pomes. Una solució és vore la resta com la suma de números en signe. Un signe menys extra simplement denota inversió aditiva. Llavors tenim 3 - (-2) = 3 + 2 = 5. Açò també ajuda a mantindre l'anell dels sancers «simple» en evitar l'introducció de» nous» operadors com la resta. Per lo general un anell solament té dos operacions definides en el mateix; en el cas dels número sancer, estos són la suma i la multiplicació. Un anell ya té el concepte d'inversions aditivas, pero no té cap noció d'una operació de substracció separada, aixina que l'ús de la suma com la resta firmada nos permet aplicar els axioma d'anell per a la resta sense necessitat de demostrar res.

Algoritme de la resta

Els algoritmes són ferramentes que han contribuït a que la gent resolga de manera eficient problemes matemàtics que enfronten en la seua vida diària. Esta necessitat va ser la que va donar lloc a la seua invenció i desenroll. Els algoritmes per a l'adició, substracció, multiplicació i divisió tenen els seus orígens en el treball de Mohamed ibn Musa A el’khwarizmi (780 a 850 d. C.), que va integrar tres coneiximents centrals: la numeració hindú, el valor posicional i el zero.

Hi ha varis algoritmes per a la resta, i diferixen en la seua idoneïtat per a diverses aplicacions. Per al càlcul a mà, s'adapten un número de métodos; per eixemple, en fer el canvi, no es realisa la resta real, sino que més be seguix pujant el canvi de contes.

Per a càlcul en màquina, es preferix el método de complements, per lo que la resta se substituïx per una adició en una aritmètica modular.

L'ensenyança de la resta en les escoles

Els mètotos utilisats per a ensenyar la resta per a l'escola primària varien de país en país, i dins d'un país, estan de moda diferents métodos en diferents moments.

Algunes escoles europees ampren un mètoto de substracció cridat método austríac, també conegut com el mètoto de adició. En este mètoto no hi ha préstam. En canvi, existixen muletes (marques per a ajudar a la memòria), que varien d'acort en el país.

Este mètoto separa la substracció com un procés de substraccions d'un dígit per valor de posició. A partir d'un dígit menys significatiu, una substracció de substraent:

<math> s_j s_{j-1} ... s_1 </math>

des del minuent

<math> m_k m_{k-1} ... m_1 </math>,

a on cada s_i i m_i és un dígit, procedint a escriure avall m₁ &minus; s₁, m₂ &minus; s₂, i aixina successivament, sempre i quan s_i no excedixca m_i. En cas contrari, m_i s'incrementa en 10 i alguns atres dígits es modifica per a corregir d'este aument. El método americà ho corrig intentant disminuir el dígit minuent m_i+1 per un (o continuar el préstam cap a l'esquerra fins que no siga un dígit distint de zero des del que presta). El método europeu corrig incrementat el dígit substraent s_i+1 per un.

Eixemple: 704 &minus; 512.

<math> begin{array}{rrrr} & color{Ret}-1 & C & D & O & 7 & 0 & 4 & 5 & 1 & 2 hline & 1 & 9 & 2 end{array} begin{array}{l} { color{Ret}longleftarrow rm carrege }

longleftarrow ; rm Minuent longleftarrow ; rm Substraent longleftarrow rm{Resta ; o ; Diferència} end{array} </math>

El minuent és 704, el substraent és 512. Els dígits del minuent són m₃ = 7, m₂ = 0 i m₁ = 4. Els dígits substraent són s₃ = 5, s₂ = 1 i s<sub>1</sub > = 2. Començant en el lloc de les unitats, 4 és no menys de 2 per lo que s'escriu 2 la diferència en el lloc del resultat. En el lloc de les decenes, 0 és menor que 1, per lo que el 0 s'incrementa en 10, i la diferència en 1, que és 9, s'escriu en lloc de les decenes. El método americà corrig l'aument de dèu reduint el dígit en el lloc de la centena del minuent en un. És dir, el 7 està tachat i se substituïx per un 6. Llavors, la resta procedix en el lloc de les centenes, a on 6 no és inferior a 5, lo que la diferència es reduïx en el lloc del resultat de cent. Ara hem terminat, el resultat és 192.

El método austríac no reduïx la 7 a 6. Més be aumenta el dígit de les centenes del substraent en un. Es fa una menuda marca prop o per baix d'esta sifra (depenent de l'escola). A continuació, la restes procedix per preguntar qué número quan aumenta en 1, i 5, s'afig a la mateixa, fa 7. La resposta és 1, i s'anota el resultat en el lloc de les centenes.

Hi ha una subtilea adicional que l'estudiant sempre ampra una taula de substracció mental en el mètoto americà. Moltes voltes, el mètoto austríac encoraja a l'estudiant a usar mentalment la taula de sumar a l'inversa. En l'eixemple anterior, en lloc de l'adició d'1 a 5, conseguint 6, i resta este des del 7, l'estudiant se li demana que considere quin número, quan aumenta en 1, i 5, s'afig al mateix, fent 7.

Resta en la mà

Método austríac

Eixemple:

• 
  1 + … = 3
• 
  S'escriu la diferència baix de la llínea.
• 
  9 + … = 5<br>¡La suma requerida (5) és massa quina!
• 
  Per lo tant, afegim 10 a la mateixa i posem un 1 baix el següent lloc més alt en el substraent.
• 
  9 + … = 15<br>Llaura podem vore la diferència com abans.
• 
  (4 + 1) + … = 7
• 
  S'escriu la diferència baix de la llínea.
• 
  S'escriu la diferència total.

Resta d'esquerra a dreta

Eixemple:

• 
  7 − 4 = 3<br>Este resultat solament és dibuixa en llapis ací.
• 
  Degut a que el següent dígit del minuent és menor que el substraent, és resta un del nostre en llapis-en-número i mentalment s'afig dèu a la següent.
• 
  15 − 9 = 6
• 
  Degut a que el següent dígit del minuent no és menor que el substraent, és manté este número.
• 
  3 − 1 = 2

Método americà

En este mètoto, cada dígit del substraent se sostrau del dígit per damunt d'ell començant de dreta a esquerra. Si el número superior és massa menut per a restar el número inferior del mateix, se li sumixca 10 al mateix; este 10 és 'prestat' des del dígit superior cap a l'esquerra, lo que es resta 1. Despuix es passa a restar el següent dígit i el préstam com siga necessari, fins que s'haja restat cada dígit. Eixemple:

• 
  3 − 1 = …
• 
  S'escriu la diferència baix de la llínea.
• 
  5 − 9 = …<br>¡El minuent (5) és massa menut!
• 
  Per lo tant, és li sumixca 10 al mateix. El 10 és 'prestat' del dígit de l'esquerra, el qual baixa en 1.
• 
  15 − 9 = …<br>Llaura la resta funciona, i escrivim la diferència baix de la llínea.
• 
  6 − 4 = …
• 
  S'escriu la diferència baix de la llínea.
• 
  La diferència total.

Primer comerç

Una variant del mètoto americà, a on tots els préstams es realisen ans que tota resta.

Eixemple:

• 
  1 − 3 = no és possible.<br>Afegim un 10 a l'1. Degut a que el 10 és «prestat» dons del 5 propenc, el 5 és baixa en 1.
• 
  4 − 9 = no és possible.<br>Aixina és procedix com en el pas 1.
• 
  Treballant de dreta a esquerra:<br>11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

Diferències parcials

El método de les diferències parcials es diferencia d'atres métodos de substracció verticals perque cap préstam o carrege es realisa. En el seu lloc, s'usen uns llocs més o signes de menys en funció de si el minuent és major o menor que el substraent. La suma de les diferències parcials és la diferència total.

Eixemple:

• 
  El número menor és resta del major:<br>700 − 400 = 300<br>Degut a que el minuent és major que el substraent, esta diferència té un signe de més.
• 
  El número menor és resta del major:<br>90 − 50 = 40<br>Degut a que el minuent és menor que el substraent, esta diferència té un signe de menys.
• 
  El número menor és resta del major:<br>3 − 1 = 2<br>Degut a que el minuent és major que el substraent, esta diferència té un signe de més.
• 
  + 300 − 40 + 2 = 262

Métodos no verticals

Contant para dalt

En lloc de trobar diferencia dígit per dígit, pot contar els números entre el substraent i el minuent.

Eixemple:

1234 − 567 = pot ser trobada en els següents passos:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Se suma el valor de cada pas per a obtindre la diferència total: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Trencant la resta

Un atre método que és útil per al càlcul mental és dividir la resta en menuts passos.

Eixemple:

1234 − 567 = pot ser resolta de la següent manera:

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

Igual canvi

El mateix método de canvi es basa en el fet de que sumar o restar el mateix número del minuent i substraent no canvia la resposta. S'afig la cantitat necessària per a obtindre zeros en el substraent.

Eixemple:

«1234 − 567 =» pot ser resolta de la següent manera: 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Vore també

• Aritmètica
• Número negatiu
• Diferència de conjunts

Enllaços externs

• «substracció». Diccionari General de la Llengua Valenciana . Real Acadèmia de Cultura Valenciana (RACV).