Principi de Cavalieri

En geometria, el Principi de Cavalieri és una aplicació moderna del método dels indivisibles. Nomenat en referència al matemàtic italià Bonaventura Cavalieri (1598-1647), s'enuncia de la manera següent:^[1]

Actualment el principi de Cavalieri es considera com un pas inicial cap al càlcul integral, i encara que s'usa en alguns casos, com la seua generalisació en el Teorema de Fubini, els resultats que usen el principi de Cavalieri a sovint es poden mostrar més directament a través de l'integració. A voltes, el principi és presentat d'un modo més general, enunciant que si la llongitut dels segments (o les àrees de les interseccions en els plans) guarda certa proporció constant, llavors l'àrea (o el volum) de les dos regions guarda eixa mateixa proporció; principi que permet, per eixemple, calcular la fòrmula per a l'àrea d'una elipse coneguda la fòrmula per a l'àrea d'un círcul. Sobre teories anteriors, el principi de Cavalieri va sorgir com una evolució de l'antic método de exhaustación grec, que usava llímits, pero no usava infinitesimals.

Història

Bonaventura Cavalieri, el matemàtic al que el principi deu el seu nom.

El principi de Cavalieri originalment es va cridar el método dels indivisibles, el nom en el que li'l coneixia en el Renaixença. Cavalieri va desenrollar una teoria completa dels indivisibles, elaborada en el seu Geometria indivisibilibus continuousorum nova quadam ratione promota (Geometria, alvançada d'una manera nova pels indivisibles dels continus, 1635) i el seu Exercitationes geometricae sex (Sis eixercicis geomètrics, 1647).^[2]

En el sigle III a. C., Arquímedes, utilisant un método semblat al principi de Cavalieri,^[3] va poder determinar el volum d'una esfera donats els volums d'un con i d'un cilindre en la seua obra El método de les teoremes mecàniques. En el sigle V, Zu Chongzhi i el seu fill Zu Gengzhi varen establir un método similar per a determinar el volum d'una esfera.^[4] La transició dels indivisibles de Cavalieri als infinitesimals d'Evangeliste Torricelli i de John Wallis va ser un alvanç important en l'història del càlcul. Els indivisibles eren entitats de codimensión 1, per lo que es creïa que una figura plana estava feta d'una infinitat de llínees de dimensió 1. Mentrestant, els infinitesimals eren entitats de la mateixa dimensió que la figura que componen; per lo tant, una figura plana estaria feta de "paralelogramos" d'ample infinitesimal. Aplicant la fòrmula per a la suma d'una progressió aritmètica, Wallis va calcular l'àrea d'un triàngul dividint-ho en paralelogramos infinitesimals d'ample 1/∞.

Eixemples

Esferes

La secció travessera en forma de disc de l'esfera té la mateixa àrea que la secció travessera en forma d'anell de la part del cilindre que es troba "fòra" del con.

Si se sap que el volum d'un con és $\frac{1}{3} (base \times altura)$ , llavors es pot usar el principi de Cavalieri per a deduir el fet de que el volum d'una esfera és $\frac{4}{3} π r^{3}$ , a on $r$ és el radi.

Açò es fa de la següent manera: considere's una esfera de radi $r$ i un cilindre de radi $r$ i altura $r$ . Dins del cilindre està el con el vèrtiç del qual està en el centre d'una base del cilindre i la base del qual és l'atra base del cilindre. Pel teorema de Pitágoras, el pla ubicat $y$ unitats sobre el "equador" de l'esfera, interseca l'esfera en un círcul d'àrea $π (r^{2} - y^{2})$ . L'àrea de l'intersecció del pla en la part del cilindre que està "fòra" del con també és $π (r^{2} - y^{2})$ . Com pot vore's, l'àrea de cada intersecció del círcul en el pla horisontal ubicat a qualsevol altura $y$ és igual a l'àrea de l'intersecció del pla en la part del cilindre que està "fòra" del con; per lo tant, aplicant el principi de Cavalieri, pot afirmar-se que el volum de la mija esfera és igual al volum de la part del cilindre que està "fòra" del con. El volum abans mencionat del con és $\frac{1}{3}$ del volum del cilindre, per lo que el volum fora del con és $\frac{2}{3}$ del volum del cilindre. Per lo tant, el volum de la mitat superior de l'esfera és $\frac{2}{3}$ del volum del cilindre. El volum del cilindre és

base \times altura = π r^{2} \cdot r = π r^{3}

(La "base" està expressada en unitats de "àrea", i la "altura" en unitats de "llongitut". Àrea × llongitut = volum)

Per lo tant, el volum de la mija esfera superior és $\frac{2}{3} π r^{3}$ i el de tota l'esfera és $\frac{4}{3} π r^{3}$ .

Cons i piràmides

El fet de que el volum de qualsevol piràmide, independentment de la forma de la base, ya siga circular com en el cas d'un con, o quadrada com en el cas de les piràmides egipcíaques, o de qualsevol atra forma, és (1/3) &claves; base &claves; altura, pot establir-se pel principi de Cavalieri si solament se sap que és cert en un cas. Pot establir-se inicialment en un sol cas dividint l'interior d'un prisma triangular en tres components piramidals de volums iguals. Pot demostrar-se l'igualtat d'eixos tres volums per mig del principi de Cavalieri.

De fet, el principi de Cavalieri o un argument infinitesimal similar és "necessari" per a calcular el volum de cons i inclús piràmides, que és essencialment el contingut del Tercer problema de Hilbert: les piràmides i cons polièdrics no es poden tallar i recompondre en un atre sòlit estàndart, i en el seu lloc deuen ser comparats per procediments infinits (infinitesimals). Els antics grecs varen utilisar diverses tècniques precursores, com els arguments mecànics de Arquímedes o el método de exhaustación per a calcular estos volums.

El problema del servilletero

Artícul principal → Problema del servilletero.

Si es perfora un forat d'altura h directament a través del centre d'una esfera, el volum de la banda restant no depén del tamany de l'esfera. Per a una esfera més gran, la banda serà més prima pero més llarga.

En el denominat problema del servilletero, es demostra pel principi de Cavalieri que quan un forat es perfora directament en el centre d'una esfera a on la banda resultant té una altura h, sorprenentment, el volum del material restant no depén del tamany de l'esfera. La secció travessera de l'anell és a la seua volta un anell pla, l'àrea del qual és la diferència entre les àrees de dos círculs. Segons la teorema de Pitágoras, l'àrea d'un dels dos círculs és π voltes (r² − i²), a on r és el radi de l'esfera i i és la distància des del pla de l'equador al pla de tall, i la de l'un atre és π voltes (r² − (h/2)²). Quan es resten estes dos expressions, el r² es cancela; d'ahí que la solució final no depenga de r.

Cicloide

La secció travessera horisontal de la regió delimitada per dos arcs cicloidales traçats per un punt en el mateix círcul que gira en un cas en el sentit de les agulles del rellonge sobre la recta situada baix d'ell, i en l'atre en sentit antihorario baix la recta superior, té la mateixa llongitut que la corresponent secció travessera horisontal del círcul.

N. Reed ha demostrat^[5] cóm trobar l'àrea delimitada per una cicloide utilisant el principi de Cavalieri. Un círcul de ràdio r pot rodar en el sentit de les agulles del rellonge sobre una recta situada per baix d'ell, o en el sentit contrari a les agulles del rellonge sobre una llínea per damunt d'ell. Un punt en el círcul traça dos cicloide. Quan el círcul ha recorregut una distància determinada, l'àngul a través del com hauria girat en el sentit de les agulles del rellonge i el que hauria girat en sentit antihorario són el mateix. Els dos punts que seguixen a les cicloide estan, per lo tant, a la mateixa altura. La llínea que els travessa és, per lo tant, horisontal (és dir, paralela a les dos llínees sobre les que roda el círcul). En conseqüència, cada secció travessera horisontal del círcul té la mateixa llongitut que la secció travessera horisontal corresponent de la regió delimitada pels dos arcs de cicloide. Segons el principi de Cavalieri, el círcul, per lo tant, té la mateixa àrea que eixa regió.

Considere's el rectàngul que delimita un únic arc de cicloide. De la definició de cicloide, té un ample de $2π r$ i una altura de $2 r$ , per lo que la seua àrea és quatre voltes l'àrea del círcul. Calcular l'àrea dins d'este rectàngul que es troba sobre l'arc cicloide, dividint el rectàngul en el punt mig a on l'arc es troba en el rectàngul, girar una peça 180° i superpondre l'atra mitat del rectàngul. El nou rectàngul, d'àrea dos voltes més gran que el círcul, consistix en la regió "lenticular" entre dos cicloide, l'àrea dels quals es va calcular anteriorment com la mateixa que la del círcul, i les dos regions que varen formar la regió per damunt de l'arc cicloide en el rectàngul original. Per lo tant, l'àrea delimitada per un rectàngul sobre un únic arc complet de la cicloide té un àrea igual a l'àrea del círcul, per lo que l'àrea delimitada per l'arc és tres voltes l'àrea del círcul.

Referències

↑ Howard Eves, "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence", The College Mathematics Journal, volume 22, number 2, March, 1991), pages 118–124
↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 477.
↑ "Archimedes' Lost Method"
↑ (2009) Calculus: Early Transcendentals, 3 edició, Jones & Bartlett Learning, p. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. Extract of page 27
↑ N. Reed, "Prova elemental de l'àrea baix una cicloide", Mathematical Gazette, volume 70, number 454, December, 1986, pages 290–291

Este artícul conté una traducció derivada de «Principio de Cavalieri» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Howard Eves, "Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence", The College Mathematics Journal, volume 22, number 2, March, 1991), pages 118–124

[2] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 477.

[3] "Archimedes' Lost Method"

[4] (2009) Calculus: Early Transcendentals, 3 edició, Jones & Bartlett Learning, p. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. Extract of page 27

[5] N. Reed, "Prova elemental de l'àrea baix una cicloide", Mathematical Gazette, volume 70, number 454, December, 1986, pages 290–291

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]