Problema del servilletero

Animació del tall d'un servilletero en altura constant.

Si es perfora un forat cilíndric d'altura h concentricamente en una esfera, el volum de l'anell resultant no depén del tamany de l'esfera. Per a una esfera gran, l'anell serà molt llarc pero també molt prim.

En geometria, el problema de servilletero implica determinar el volum d'una "banda" d'altura especificada al voltant d'una esfera, és dir, la part que queda despuix de perforar un forat cilíndric circular a través del centre de l'esfera. És un fet contrari a l'intuïció que este volum no depén del ràdio de l'esfera original, sino solament de l'altura de la banda resultant.

El problema es diu aixina perque despuix de buidar un cilindre de l'esfera, la banda restant s'assembla a la forma d'un servilletero.

Història

Un primer estudi d'este problema va ser descrit pel matemàtic japonés del sigle XVII Seki Kōwa. Segons Smith y Mikami (1914), Seki va cridar a este sòlit un anell d'arc, o en japonés kokan o kokwan.

Plantejament

Suponga's que l'eix d'un cilindre pansa pel centre d'una esfera de radi R i que h representa l'altura (definida com la distància en una direcció paralela a l'eix) de la part del cilindre que està dins de l'esfera. La "banda" és la part de l'esfera que queda fòra del cilindre. El volum de la banda depén de h, pero no de R:

$V=\frac{\pi h^3}{6}.$

A mida que el radi R de l'esfera es reduïx, el diàmetro del cilindre també deu reduir-se per a que h permaneixca igual. La banda es torna més grossa, i açò aumenta el seu volum. Pero també s'acurta el perímetro de la circumferència, i açò disminuïx el seu volum. Els dos efectes s'anulen mútuament. En el cas extrem de l'esfera més chicoteta possible, el cilindre desapareix (la seua ràdio es torna zero) i l'altura h és igual al diàmetro de l'esfera. En este cas, el volum de la banda és el volum de l'esfera completa, que coincidix en la fòrmula donada anteriorment.