Orde (teoria de grups)

En teoria de grups, una de les branques de les matemàtiques, el terme orde s'utilisa en dos sentits estretament relacionats:

• L'orde d'un grup és el seu cardinalidad, és dir, el número d'elements que té.
• L'orde, a voltes periodo, d'un element a d'un grup és el sancer positiu m més chicotet tal que a^m = i (a on i denota l'element identitat, també cridat neutre, del grup, i a^m denota el producte de m copies de a). Si no existix tal m, es diu que a té un orde infinit.

Denotem l'orde d'un grup G per ord(G) o $|G|$ i el d'un element $a\in G$ per ord(a) o $|a|$. Es pot notar que l'orde d'un element (en el segon sentit expost) coincidix en l'orde del subgrup generat per dit element (en el primer sentit).

Relació entre l'orde d'un grup i la seua estructura

Si l'orde del grup $G$ és 1, llavors el grup és trivial. Si un element té orde 1, llavors l'element és necessàriament l'identitat. Si un element de $G$ té orde 2, dit element és igual al seu invers; si tots els elements del grup tenen orde 2, llavors el grup resulta abeliano ya que, per a dos elements qualssevol $a,b\in G$:

$ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=ba$.

Subgrups generats per un element

Si $G$ és un grup i $a$ és un element del mateix, es denota per $⟨a⟩=\{a^k:k\in \mathbb{Z}\}$ el subgrup generat per $a$. Llavors l'orde de l'element $a$ és igual a l'orde del subgrup $⟨a⟩$. En el cas de que $\mathrm{ord}(a)=n\in \mathbb{N}$ siga finit, el subgrup $⟨a⟩$ resulta isomorfo a ${\mathbb{Z}}_n$. Quan l'orde de $a$ és infinit, s'obté que $⟨a⟩$ és isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Divisores de l'orde del grup

Si $G$ és un grup finit, i ya que l'orde de qualsevol element $a\in G$ és igual al número d'elements del subgrup $⟨a⟩$, l'orde de qualsevol element de $G$ té que ser necessàriament menor o igual que l'orde de $G$. Es dona un resultat més fort: l'orde de qualsevol element de $G$ deu ser un divisor de l'orde de $G$; equivalentement, donat un element $a\in G$, l'orde del subgrup $⟨a⟩$ deu dividir a l'orde de $G$.

L'extensió d'este resultat a subgrups més generals es coneix com el teorema de Lagrange: donat un grup finit $G$ i un subgrup seu $H$, l'orde de $H$ dividix a l'orde de $G$. El cocient $|G|/|H|$ es coneix com l'índex de $H$ en $G$, i es denota en ocasions com $|G:H|$.

Per una atra part, encara que l'orde de cada element d'un grup finit $G$ dega dividir a l'orde del grup, no està garantisat que, per a cada divisor de $|G|$, existixca un element en dit orde. En el cas dels divisores primers, el teorema de Cauchy sí garantisa que, si $p$ és un divisor primer de $|G|$, llavors existix un element $a\in G$ l'orde del qual és $p$.

Eixemples

Siga el grup G = {1,-1,i,-i}, en l'operació multiplicació de complexos. Llavors es poden obtindre els següents órdens:

• L'orde del grup complet és 4, ya que el grup està format per quatre elements. O siga, ord (G) = 4.
• L'orde de l'element 1 és 1, o siga, ord (1) = 1.
• L'orde de l'element -1 és 2, o siga, ord (-1)= 2, ya que (-1)·(-1)=1.
• L'orde de l'element i és 4, o siga, ord (i) = 4, ya que = i·i·i·i = (-1)·i·i = (-1)·(-1) = 1.
• L'orde de l'element -i és 4, o siga, ord (-i)= 4, ya que (-i)·(-i)·(-i)·(-i) = (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·i·i·i·i = 1·1·i·i·i·i = 1.

Siga   $G={\mathbb{Z}}_n$   el grup format per les classes d'equivalència mòdul n, a on l'operació del grup és la suma. Llavors l'orde de qualsevol element k ≠ 0 és n/d, a on d és el màxim comú divisor entre n i k.