Funció de distribució

En la teoria de la provabilitat i en estadística, la funció de distribució acumulada (FDA, designada també a voltes simplement com a funció de distribució o FD) o funció de provabilitat acumulada associada a una variable aleatòria real $X$ subjecta a certa llei de distribució de provabilitat, és una funció matemàtica de la variable real $x$ que descriu la provabilitat de que $X$ tinga un valor menor o igual que $x$.
Intuitivamente, assumint la funció $f$ com la llei de distribució de provabilitat, la FDA seria la funció en la recta real com a domini, en image del àrea fins a ací de la funció $f$, sent ací el valor x per a la variable aleatòria real $X$.
La FDA associa a cada valor x, la provabilitat del event: «la variable $X$ pren valors menors o iguals a x».
El concepte de FDA pot generalisar-se per a modelar variables aleatòries multivariantes definides en ${ℝ}^n$

Funció de Distribució Acumulativa per a la distribució normal en la següent image

Funció de Densitat de Provabilitat per a vàries distribucions normals. El traç roig distinguix la distribució normal estàndart.

Definició

Sean $(\Omega ,𝒜,\mathrm{P})$ un espai de provabilitat i $X:\Omega \to ℝ$ una variable aleatòria, la funció de distribució acumulada de la variable aleatòria $X$ és una funció $F:ℝ\to [0,1]$ definida com

$F(x)=\mathrm{P}[X\le x]$

La funció de distribució evaluada en un número $x$ qualsevol és la provabilitat de que la variable aleatòria prenga un valor menor o igual a $x$.

La funció de distribució acumulada $F$ pot obtindre's a partir de la funció de provabilitat $f$.

Notació

F

Case Discret

Si $X$ és una variable aleatòria discreta en funció de provabilitat $f(x)$ llavors la funció de distribució acumulada es calcula com

$F(x)=\mathrm{P}[X\le x]=\sum _{u\le x}f(u)$

Cas Continu

Si $X$ és una variable aleatòria real contínua en funció de densitat $f(x)$ llavors la funció de distribució acumulada es calcula com

$F(x)=\mathrm{P}[X\le x]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)\text{d}u$

La fòrmula anterior representa el cas univariante. El cas multivariante és el que s'usa en una situació a on es presenten vàries variables aleatòries, que usualment seran estadísticament depenents:

$F(x_1,\dots ,x_n)=\mathrm{P}[X_1\le x_1,\dots ,X_n\le x_n]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_1}{\int }}[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_n}{\int }}f(u_1,\dots ,u_n)\text{d}{u}_1]\dots \text{d}{u}_n$

Propietats

Una funció de distribució acumulada $F(x)$ associada a la variable aleatòria $X$ satisfà

1. $0\le F(x)\le 1$.
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$.
3. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$.
4. És monòtona no decreixent, és dir, si $x_1\le x_2$ llavors $F(x_1)\le F(x_2)$.
5. És contínua per la dreta, és dir, $\underset{x\to a^{+}}{\lim }F(x)=F(a^{+})$.

Si $a\le b$ pot demostrar-se que

• $\mathrm{P}(X<a)=F(a^{-})$

• $\mathrm{P}(X>a)=1-F(a)$
• $\mathrm{P}(X\ge a)=1-F(a^{-})$
• $\mathrm{P}(a<X<b)=F(b^{-})-F(a)$
• $\mathrm{P}(a\le X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})$
• $\mathrm{P}(a\le X\le b)=F(b)-F(a^{-})$

Si $X$ és una variable aleatòria contínua llavors $F(x)$ es diu que és absolutament contínua per lo que

$\mathrm{P}(a\le X\le b)=\mathrm{P}(a\le X<b)=\mathrm{P}(a<X\le b)=\mathrm{P}(a<X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Vore també

• Estadística descriptiva
• Distribució de provabilitat

Bibliografia

• Conceito de variável aleatória i de função de distribução
• Archivat el 3 de març de 2016 archivat en Wayback Machine.
• Portal Action [1] archivat en Wayback Machine.

Estadística

Pot considerar-se l'artícul sobre Estadística matemàtica per a completar alguns tòpics.