Varietat de Banach

En matemàtiques, una varietat de Banach és una varietat modelada sobre espais de Banach. Més concretament, és un espai topològic en el que cada punt té un entorn homeomorfo a un obert d'un espai de Banach. Les varietats de Banach són una possibilitat d'estendre la noció de varietat a infinites dimensions.

Una generalisació encara més àmplia es conseguix en les varietats de Fréchet, en les que es reemplacen els espais de Banach per espais de Fréchet. Per un atre costat, una varietat de Hilbert és un cas especial de varietat de Banach en el que la varietat és modelada localment sobre espais de Hilbert.

Definició formal

Siga X un conjunt. Un atles de classe C^r, r ≥ 0, sobre X és una colecció de parells (cridats cartes) (O_i, φ_i), i ∈ I, tals que

1. cada O_i és un subconjunt de X i l'unió de O_i és igual a X;
2. cada φ_i és una biyección de O_i sobre un subconjunt obert φ_i(O_i) d'algun espai de Banach I_i, i per a tot i i j, φ_i(O_i ∩ O_j) és obert en I_i;
3. la funció de transició o canvi de cartes

${\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}:{\phi }_i(U_i\cap U_j)\to {\phi }_j(U_i\cap U_j)$

és una funció r-voltes contínuament diferenciable para tot i i j en I, i.i. la r^th derivada de Fréchet

${\mathrm{d}}^r({\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}):{\phi }_i(U_i\cap U_j)\to \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}(E_i^r;E_j)$

existix i és una funció contínua.

Un pot demostrar que existix una única topología sobre X tal que cada O_i és obert i cada φ_i és un homeomorfisme. En freqüència , se supon que este espai topològic és Hausdorff, pero açò no és necessari des del punt de vista de la definició formal.

Si tots els espais de Banach I_i són iguals al mateix espai I, cridarem a l'atles un I-atles. no obstant, no és a priori necessari que els espais de Banach I_i siguen el mateix espai, ni tan sols que siguen espais vectorials topològics isomorfos. Si dos cartes (O_i, φ_i) i (O_j, φ_j) verifiquen que O_i and O_j tenen una intersecció no buida, llavors examinant la derivada de la funció de transició

${\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}:{\phi }_i(U_i\cap U_j)\to {\phi }_j(U_i\cap U_j)$

es demostra que I_i i I_j deuen ser isomorfos com a espais vectorials topològics.

Eixemples

• Si (X, || ||) és un espai de Banach, llavors X és una varietat de Banach en un atles format per una sola carta globalment definida (l'aplicació identitat).
• De forma similar, si O és un subconjunt obert d'algun espai de Banach, llavors O és una varietat de Banach.

Un important cas particular és el format per les varietats de Banach modelades sobre espais de Hilbert, cridades varietats de Hilbert. En el cas de que estiguen modelades sobre un espai de Hilbert separable, una varietat de Hilbert de dimensió infinita sempre podrà ser embebida com un obert d'un espai de Hilbert, i per lo tant solament necessitarem d'una carta per a descriure-la.

Referències

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc..