Variació acotada

Archiu:UnbegrenzteVariation es.png

Eixemples de funcions de variació illimitada

Archiu:BegrenzteVariation es.png

Eixemples de funcions de variació acotada

En anàlisis matemàtic, una funció és de variació acotada (o també denominada de "fluctuació llimitada") si el seu variació total ("fluctuació total") és finita, és dir, no oscila en un grau arbitrari. Estos térmens estan estretament relacionats en la continuïtat i l'integrabilidad de funcions.

L'espai de totes les funcions de variació acotada en el domini $\Omega$ es denota per $BV(\Omega )$.

El concepte es remonta a Camille Jordan.

Funcions reals

Definició

La variació total d'una funció de variable real $f:[a,b]\to ℝ$ definida en un interval tancat és el suprem

$\underset{P}{\sup }\sum _i|f(x_{i+1})-f(x_i)|,$

a on este suprem es forma a partir de totes les possibles particions $P=\{x_1,\dots ,x_n\mid x_1<\cdots <x_n\}$ de l'interval $[a,b]$. El $n$ ací especificat depén de $P$.

En concret, les funcions contínues de variació acotada són integrables de Riemann-Stieltjes. Per això $BV[a,b]$ pot equipar-se en una seminorma:

$n(f)=\underset{\phi }{\sup }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x){\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

Ací, el suprem es forma a partir de totes les funcions $\mathrm{\phi }$ contínuament diferenciables en soport compacte i valors de la funció en l'interval $[-1,1]$.

La seminorma concorda en el suprem, que definix la variació acotada.

Eixemple

Archiu:Sin(1x).svg

Eixemple de variació illimitada

Un eixemple simple d'una funció en variació illimitada és $x\mapsto \sin (\frac{1}{x})$ prop de $x=0$. És clarament comprensible que el valor del cocient $\frac{1}{x}$ per a $x\to 0$ creixerà cada volta més ràpit cap a ∞ a mida que s'acosta a 0 i, per lo tant, el sen d'este valor realisarà un número infinit d'oscilacions. Este fet es mostra en l'image de la dreta.

La funció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ si }x=0\\ x\sin (1/x),& \text{ si }x\ne 0\end{array}$

Tampoc té una fluctuació llimitada en l'interval [0, 1], a diferència de la funció:

$g(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ si }x=0\\ x^2\sin (1/x),& \text{ si }x\ne 0\end{array}$.

Ací, la variació del terme sen, que aumenta bruscament per a $x\to 0$, es veu suficientment amortiguada per la potència al quadrat adicional.

Extensions

Esta definició també es pot utilisar para funcions complexes o funcions en valors en un espai mètric $(Y,d)$ (en este últim cas, reemplace's $|f(x_{i+1})-f(x_i)|$ per $d(f(x_i),f(x_{i+1}))$).

Funcions BV en vàries variables

Les funcions de variació acotada, o funcions $BV$, són funcions que les seues derivades distributivas són valors vectorials en mides de Radon finitas. De manera més precisa:

Definició

Siga $\Omega$ un subconjunt obert de ${ℝ}^n$. Una funció $u\in L^1(\Omega )$ és de variació acotada o element de $BV(\Omega )$ si la seua derivada distribucional és una mida de Radon finita, en signe i en valor vectorial. És dir, existix $Du\in ℳ(\Omega ,{ℝ}^n)$, de modo que es complix que

$\underset{\Omega }{\int }u(x)\mathrm{div}\phi (x)\mathrm{d}x=-\underset{\Omega }{\int }⟨\phi ,Du(x)⟩\text{ para todo }\phi \in C_c^1(\Omega ,{ℝ}^n)$

Bibliografia

• Jürgen Elstrodt (2007). Maß- und Integrationstheorie, 5 edició, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-49977-0.
• Gerald Teschl (2011). [freie Onlineversion Topics in Real and Functional Analysis].
• Luigi Ambrosio, Nicola Fusco i Diego Pallara (2000). Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford. ISBN 9780198502456.