Triàngul medial

El triàngul roig és el triàngul medial del negre. Els vèrtiços del triàngul roig coincidixen en els punts mijos dels costats del triàngul negre.

El triàngul medial o triàngul mig d'un triàngul ABC és el que té els seus vèrtiços situats en els punts mijos dels costats AB, AC i BC del triàngul donat. És el cas per a n = 3 del polígon medial d'un polígon en n costats. El triàngul medial no és lo mateix que el triàngul mijà, que és el triàngul els costats del qual tenen les mateixes llongituts que les mijanes de ABC.

Cada costat del triàngul medial es diu segment mig (o llínea mija). En general, un segment mig d'un triàngul és un tram de recta que unix els punts mijos de dos costats del triàngul. És paralel al tercer costat i té una llongitut igual a la mitat de la llongitut del tercer costat.

Propietats

• El triàngul medial també es pot vore com l'image del triàngul ABC transformada per una homotecia centrada en el centroide en relació -1/2. Per lo tant, els costats del triàngul medial són la mitat i paralels als costats corresponents del triàngul ABC. En conseqüència, el triàngul medial és inversamente semblant i compartix el mateix centroide i mijanes que el triàngul ABC.

• També es deduïx d'açò que el perímetro del triàngul medial és igual al semiperímetro del triàngul ABC, i que l'àrea és un quarto de l'àrea del triàngul ABC. Ademés, els quatre triànguls en els que el triàngul original està subdividido pel triàngul medial són tots congruents entre sí per tindre els tres costats iguals, per lo que les seues àrees són iguals i, per lo tant, l'àrea de cada u és 1/4 de l'àrea del triàngul original.

• l'ortocentre del triàngul medial coincidix en el circumcentre del triàngul ABC. Este fet proporciona una ferramenta per a provar la colinealidad del circumcentre, del centroide i de l'ortocentre. El triàngul medial és el triàngul podal del circumcentre. La circumferència dels nou punts circumscriu al triàngul medial, per lo que el centre de la circumferència de nou punts és el circumcentre del triàngul medial.

• El punt de Nagel del triàngul medial és l'incentro del seu triàngul de referència.

• El triàngul medial d'un triàngul de referència és congruent en el triàngul els vèrtiços del qual són els punts mijos entre l'ortocentre del triàngul de referència i els seus vèrtiços.

• l'incentro d'un triàngul es troba en el seu triàngul medial.

• Un punt en l'interior d'un triàngul és el centre d'una inelipse del triàngul si i solament si el punt es troba en l'interior del triàngul medial.

• El triàngul medial és l'únic triàngul inscrit para el que cap dels atres tres triànguls interiors té un àrea més menuda.

Coordenades

Siguen a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | les llongituts dels costats del triàngul ABC. Les coordenades trilineales dels vèrtiços del triàngul medial vénen donades per

• X = 0 : 1/b : 1/c
• I = 1/a : 0 : 1/c
• Z = 1/a : 1/b : 0