The Classical Groups

Els grups clàssics: els seus invariantes i representacions (títul original en anglés: The Classical Groups: Their Invariants and Representations) és un llibre obra del matemàtic alemà Hermann Weyl publicat en 1939, que descriu la teoria de invariantes clàssica en térmens de la teoria de representació. És en gran part responsable del resorgiment de l'interés en la teoria de invariantes, que casi havia passat a un segon pla per la solució de David Hilbert dels seus principals problemes en la década de 1890.

Weyl (1939) va donar una charrada informal sobre el tema del seu llibre. Va haver una segona edició en 1946.

Contingut

• El Capítul I definix invariantes i atres idees bàsiques i descriu la relació en el Programa de Erlangen de Felix Klein en geometria.

• El Capítul II descriu els invariantes del grup llineal general especial d'un espai vectorial V sobre els polinomis sobre una suma de còpies de V i la seua dual. Utilisa l'identitat de Capelli per a trobar un conjunt explícit de generadors per als invariantes.

• El Capítul III estudia el grup anelle d'un grup finito i la seua descomposició en una suma d'àlgebra de matrius.

• El Capítul IV analisa la dualitat de Schur-Weyl entre les representacions dels grups simètrics i dels grups llineals generals.

• Els Capítuls V i VI estenen la discussió dels invariantes del grup llineal general en el Capítul II als grups ortogonal i simpléctico, mostrant que l'anell de invariantes és generat pels elements obvis.

• El Capítul VII descriu la fòrmula de caràcter de Weyl per als caràcters de representació dels grups clàssics.

• El Capítul VIII desenrolla la teoria dels invariantes, i demostra la teorema de Hilbert de que els invariantes del grup llineal especial es generen finitament.

• Els Capítuls IX i X donen alguns complements als capítuls anteriors.

Bibliografia

• (1988).«The mathematical heritage of Hermann Weyl (Durham, NC, 1987)».American Mathematical Society.Providence, R.I.:48

133–166.

• (1989).«Remarks on classical invariant theory.».Transactions of the American Mathematical Society.American Mathematical Society.313(2)

539–570.ISSN 0002-9947.doi:10.2307/2001418.

• (1940).«Book Review: The Classical Groups».Bulletin of the American Mathematical Society.46(7)

592–595.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0002-9904-1940-07236-2.

• (1939).«The Classical Groups. Their Invariants and Representations».Princeton University Press.

• (1939a).«Invariants».Duke Mathematical Journal.5(3)

489–502.ISSN 0012-7094.doi:10.1215/S0012-7094-39-00540-5.