Teoria de conexions funcionals

La teoria de conexions funcionals (TCF) és un marc matemàtic dissenyat per a l'interpolació funcional. Introduïx un método per a derivar un funcional capaç de transformar problemes d'optimisació en restriccions en problemes equivalents sense restriccions. Esta transformació permet l'aplicació de la TCF a diversos problemes matemàtics, inclosa la resolució d'equacions diferencials. En este context, l'interpolació funcional es referix a la construcció de funcionals que sempre satisfan les restriccions donades, sense importar l'expressió de la funció interna (lliure).

De l'interpolació a l'interpolació de funcionals

Per a proporcionar un context general per a la TCF, considere un problema d'interpolació genèric que involucra $n$ restriccions, com una equació diferencial subjecta a un problema de valors llimite. Independentment de l'equació diferencial, estes restriccions poden ser consistents o inconsistentes. Per eixemple, en un problema sobre el domini $𝒟 : (0, 1) \cup (0, 1)$ , les restriccions $f_{1} (x, 0) = 1 + x$ i $f_{2} (0, y) = 2 - y$ són inconsistentes, ya que produïxen valors diferents en el punt compartit $(0, 0)$ . Si les $n$ restriccions són consistents, es pot construir una funció que interpole estes restriccions seleccionant $n$ funcions de soport linealmente independents, com els monomis, ${1, x, x^{2}, \dots, x^{n - 1}}$ . El conjunt de funcions de soport elegit pugues o no ser coherent en les restriccions donades. El problema de la consistència s'aborda examinant casos de restriccions, interpolació i interpolació funcional, inclosos escenaris en els que les condicions de contorn impliquen derivades de cisallament i mixtes.^[1] Per eixemple, les restriccions $y (- 1) = y (+ 1) = 0$ i $\frac{d y}{d x} |_{x = 0} = 1$ són incompatibles en les funcions de respal, ${1, x, x^{2}}$ , com es pot comprovar fàcilment. Si les funcions de soport són consistents en les restriccions, el problema d'interpolació pot resoldre's, donant lloc a un interpolante—una funció que satisfà totes les restriccions. Elegir un conjunt diferent de funcions de soport resultaria en un interpolante diferent. En principi, quan es resol un problema d'interpolació i es determina un interpolante inicial, tots els interpolantes possibles poden generar-se realisant el procés d'interpolació en cada conjunt distint de funcions de soport linealmente independents consistents en les restriccions. No obstant, este método és impráctico, ya que el número de possibles conjunts de funcions de soport és infinit.

Este desafiu es va abordar per mig del desenroll del TCF, un marc analític per a realisar interpolació funcional introduït per Daniele Mortari en l'Universitat Texas A&M . ^[2] L'enfocament implica construir un model funcional $f (𝐱, g (𝐱))$ que satisfà les restriccions donades per a qualsevol expressió arbitrària de $g (𝐱)$ , denominada funció lliure. Este funcional, conegut com funciónal restringit, proporciona una representació completa de tots els interpoladores possibles. Variant $g (𝐱)$ , és possible generar tot el conjunt de interpolantes, inclosos aquells que són discontinus o parcialment definits.

Archiu:Interpolation caps block 4 scheme.png

Diagrama de fluix de funcions i interpolació de funcionals

L'interpolació de funcions produïx una única funció interpolante, mentres que l'interpolació funcional genera una família de funcions interpolantes representades a través d'un funcional. Este funcional definix el subespacio de funcions que satisfan inherentemente les restriccions donades, reduint efectivament l'espai de solucions a la regió a on es troben les solucions del problema d'optimisació en restriccions. En amprar estos funcionals, els problemes d'optimisació en restriccions poden reformular-se com a problemes sense restriccions. Esta reformulación permet métodos de solució més simples i eficients, millorant a sovint la precisió, robustea i fiabilitat. Dins d'este context, la Teoria de Conexions Funcionals (TCF) proporciona un marc sistemàtic per a transformar problemes en restriccions en problemes sense restriccions, simplificant aixina el procés de solució.

La TCF aborda restriccions univariantes que involucren punts, derivades, integrals i qualsevol combinació llineal d'estos. ^[3] La teoria també s'estén per a acomodar restriccions infinites i multivariantes, i s'aplica a la resolució d'equacions ordinàries, parcials i integre-diferencials. La versió univariante de la TCF pot expressar-se en una de les següents dos formes:

{\begin{matrix} f (x, g (x)) = g (x) + \sum_{j = 1}^{n} η_{j} (x, g (x)) s_{j} (x) \\ f (x, g (x)) = g (x) + \sum_{j = 1}^{n} ϕ_{j} (x, 𝐬 (x)) ρ_{j} (x, g (x)), \end{matrix}

on $n$ representa el número de restriccions llineals, $g (x)$ és la funció lliure, i $s_{j} (x)$ són $n$ funcions de soport linealmente independents i definides per l'usuari. Els térmens $η_{j} (x, g (x))$ són els coeficients funcionals, $ϕ_{j} (x)$ són funcions de conmutación (que prenen un valor d'1 quan s'evaluen en la seua respectiva restricció i 0 en atres restriccions), i $ρ_{j} (x, g (x))$ són funcionals de proyecció que expressen les restriccions en térmens de la funció lliure.

Un eixemple racional

Per a mostrar cóm TFC generalisa l'interpolació, considere les restriccions, $\dot{y} (x_{1}) = {\dot{y}}_{1}$ i $\dot{y} (x_{2}) = {\dot{y}}_{2}$ . Una funció d'interpolació que satisfà estes restriccions és,

f_{a} (x) = \frac{x (2 x_{2} - x)}{2 (x_{2} - x_{1})} {\dot{y}}_{1} + \frac{x (x - 2 x_{1})}{2 (x_{2} - x_{1})} {\dot{y}}_{2},

com es pot comprovar fàcilment. Per esta propietat d'interpolació, la derivada de la funció,

δ (x) = g (x) - \frac{x (2 x_{2} - x)}{2 (x_{2} - x_{1})} \dot{g} (x_{1}) - \frac{x (x - 2 x_{1})}{2 (x_{2} - x_{1})} \dot{g} (x_{2}),

desapareix en $x_{1}$ i $x_{2}$ , per a qualsevol funció, $g (x)$ . Per lo tant, afegint $δ (x)$ a $f_{a} (x)$ , s'obté un funcional que encara satisfà les restriccions,

f (x, g (x)) = f_{a} (x) + δ (x) = \frac{x (2 x_{2} - x)}{2 (x_{2} - x_{1})} {\dot{y}}_{1} + \frac{x (x - 2 x_{1})}{2 (x_{2} - x_{1})} {\dot{y}}_{2} + g (x) - \frac{x (2 x_{2} - x)}{2 (x_{2} - x_{1})} \dot{g} (x_{1}) - \frac{x (x - 2 x_{1})}{2 (x_{2} - x_{1})} \dot{g} (x_{2}),

No importa qué

g (x)

és. Per esta propietat, esta funció es denomina funció restringida . El requisit clau per a que el funcional

f (x, g (x))

funcione com està previst és que els térmens

\dot{g} (x_{1})

i

\dot{g} (x_{2})

esten finidos. Una volta complida esta condició, lel funcional

f (x, g (x))

és lliure de prendre qualsevol valor arbitrari més allà de les restriccions especificades, gràcies a l'infinita flexibilitat proporcionada per

g (x)

.

Archiu:Univariate caps block 10 Animation.gif

Eixemple: una animació funcional restringida univariante que utilisa dos restriccions absolutes i una restricció relativa.

És important destacar que esta flexibilitat no es llimita a les restriccions específiques elegides en este eixemple. Més be, s'aplica universalment a qualsevol conjunt de restriccions. Esta universalitat ilustra cóm TCF realisa l'interpolació de funcionals: construïx una funció que satisfà les restriccions donades i al mateix temps permet una completa llibertat de comportament en atres parts a través de l'elecció de $g (x)$ . En essència, este eixemple demostra que la funció restringida $f (x, g (x))$ captura totes les funcions possibles que complixen les restriccions donades, mostrant el poder i la generalitat de TCF en el maneig d'una àmplia varietat de problemes d'interpolació.

Referències

↑ Mathematics.10(24)
4692.ISSN 2227-7390.doi:10.3390/math10244692.
↑ Mathematics.5(4)
57.ISSN 2227-7390.doi:10.3390/math5040057.
↑ Mathematical and Computational Applications.26(3)
65.ISSN 2297-8747.doi:10.3390/mca26030065.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de conexiones funcionales» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Mathematics.10(24)
4692.ISSN 2227-7390.doi:10.3390/math10244692.

[2] Mathematics.5(4)
57.ISSN 2227-7390.doi:10.3390/math5040057.

[3] Mathematical and Computational Applications.26(3)
65.ISSN 2297-8747.doi:10.3390/mca26030065.

[1]

[2]

[3]