Teoremes fonamentals de l'economia del benestar

Hi ha dos teoremes fonamentals de l'economia del benestar. El primer afirma que qualsevol equilibri competitiu o walrasiano du a una situació d'assignació de recursos econòmics que és eficient en el sentit de Pareto. La segona teorema és contrarecíproco del primer; afirma que qualsevol assignació eficient o òptim de Pareto es pot obtindre per mig d'un equilibri competitiu.

A pesar de l'aparent simetria d'abdós teoremes, en realitat el primer és molt més general que el segon, requerint suposts més dèbils.

Arguments

Lo que seguix no és una demostració formal (vore especialment "Teoremes dins d'atres ciències"), sino més be una exposició que busca, d'acort en els principis de l'economia naturalista, posar en rellevància els conceptes i relacions que sustenten les propostes. És preferible llavors, més be que demostracions, parlar d'arguments, especialment en la seua accepció de "discurs dirigit a l'enteniment."

Primera teorema

Archiu:Edgeworth box.png

Ilustració de la Primera Teorema en una Caixa d'Edgeworth.

La primera teorema fonamental -conegut també com a teorema directa- establix que qualsevol situació d'equilibri general walrasiano és Pareto eficient. Açò va ser demostrat originalment de manera geomètrica per Abba Lerner i posteriorment de manera algebraica per Harold Hotelling, Oskar Lange, Maurice Allais, Kenneth Arrow i Gérard Debreu. Formalment, la teorema pot ser propost de la següent manera: Si les preferèncias locals se satisfan inicialment i si la relació entre compres, bens i preus (x*, i*, p) establix un equilibri competitiu, llavors (x*, i*) és una distribució òptima en el sentit de Pareto.

Per preferències no satisfetes o “no sacietat local” s'implica que una compra qualsevol (ya siga d'un ben o conjunt o canastra de bens) no ha agotat els desijos de compres del consumidor. Tècnicament, això s'expressa dient que per a qualsevol “canastra de compra” adquirida existix un atre o uns atres, arbitrariamente similars, tals que serien preferits. Més formalment, per a qualsevol transacció x en l'univers de possibles transaccions (X) de preferència positives (I) hi hauria un $x*$ tal que $(x*-x)\le E$ i, conseqüentment, es prefiería $x*$.

Un equilibri competitiu o general o walrasiano es referix al que s'establix en el mercat d'una economia real quan les relacions entre riquea general, bens en oferta, preus, etc., du a un funcionament econòmic que tendix a perpetuar-se. (en el cas d'un sol tipo de mercaderia, etc., es parla d'un equilibri parcial, és dir, es va establir en eixe moment un equilibri entre oferta i demanda en eixa àrea específica, pero no sabem que tal situació es repetirà o que siga necessàriament estable en el llarc determini). Equilibri general inclou tant els canvis (compra-venda) en l'economia com a l'assunció de que les empreses són eficients, tant del punt de vista de l'assignació com de la producció. En este argument, lo que interessa específicament és que els preus duen a vendes. Es pot fàcilment demostrar que lo anterior seguix de l'assunció més general sobre mercats (tant de factors de producció com de productes) perfectament competitius.

Considere's una transacció o “solució” (S) (compra venda real) entre dos individus. Tal transacció serà part de la totalitat de possibles compravendes entre dos individus qualsevol. Tots eixos possibles intercanvis definixen un espai o “pla” de totes les possibles relacions (solucions) entre compres, vendes i preus ($S_1,S_2,\dots S_n$). Suponga's, ademés, que dins de tal univers existix una solució ($S*$) en la qual cada participant ha obtingut el màxim de beneficis possible. (Eixa situació és anomenada dominancia, Aixina, per eixemple, si la relació S1 és preferida a la solució S2, S1 domina a S2. D'acort en esta terminologia, S* “domina” a totes les S) La desviació de tal situació implica que ya siga un o l'atre ya siga perdrà o no obtindrà part dels beneficis possibles o s'abstindrà de participar en l'intercanvi. Quan tal situació (S*) és generalisada en una economia, s'està en l'Òptim de Pareto.

Suponga's que les condicions generals de l'equilibri econòmic walrasiano rigen o són vàlides. És dir, la riquea (R) d'un país és igual a la suma (∑) dels bens (B) que tots els habitants (h) d'eixe país posseïxen multiplicat pel valor o preu (p) d'eixos bens més la suma de diners que eixos habitants posseïxen. Pero eixos diners són iguals a -pot ser descrit com- la suma dels bens produïts (P) que totes les empreses (i) han produït o posseïxen en eixe moment determinat, multiplicat pels preus (p) d'eixos bens. Més formalment:

a on ∑h Rh és la riquea total; Bh, l'agregat de bens de tots els h; Pe, el producte de les empreses i, i p és el preu.

Assumixca's, finalment, que eixos bens, preus i riquea, etc., establixen una relació (Sn) tal que és part de la totalitat de possibles relacions entre eixos factors, pero és diferent d'aquella (S*) que Pareto flama òptima.

Considere's: La maximización de preferències implica que:

(No és necessari considerar el cas en el qual la preferència per Sn siga menor que per S*, perque tal situació implicaria que els individus trien transacció és que no donen tant benefici com desijarien o podrien obtindre o -alternativament- que trien “ser menys rics” que lo que podrien, situació que no s'observa a sovint.)

Si la preferència per Sn > S*, llavors Bh∙p> Rh.

(en atres paraules, si una transacció Sn és preferida a S*, la relació entre bens i preus seria major que la que la riquea dels individus permet. És dir, no es pot obtindre)

Si preferència Sn ≥ S*, llavors Bh ⋄ p ≥ Rh.

(per a vore-ho, imaginese la mateixa situació (Sn ≥ S*) pero en Bh ⋄ p< Rh. És dir, la relació bens i preus és menor que la que la riquea general establix o permet. Podríem trobar llavors una relació Sn tal que fora preferida a S*. Pero S* és, per definició, la preferida o òptima en térmens d'maximizar beneficis. Seguix llavors que cada individu preferiria Bh ⋄ p ≥ Rh, és dir, maximizar la seua riquea.)

Ara, considere's en general una relació de factors (x, i ...) que fora dominant d'acort en Pareto (x*,i*). Açò significa que un paràmetro qualsevol (x) serà major en x* que en alguns dels atres casos i major o igual en tots. És dir, x ≥ x* . (Nota necessària

Pero, per lo anterior, sabem que Rh ⋄ p ≥ Rh.

Sumarizando es troba que Sn no pot ser diferent a S*. De ser-ho, no es podria obtindre Rh ⋄ p ≥ Rh.

Açò significa que, donada una relació estable a llarc determini (equilibri walrasiano) en la qual la riquea d'una societat en el seu conjunt és igual a la suma de tots els bens -posseïts i en circulació en eixa societat- multiplicat pel preu d'eixos bens i assumint tant que els individus busquen maximizar la seua riquea a través de triar relacions d'intercanvi que els siguen individualment favorables com la possibilitat real d'implementar eixes opcions, s'aplegara a una situació òptima, o eficient, d'acort en la definició de Pareto.

Este resultat es considera generalment com una vindicación de la proposta inicial de l'economia clàssica (vore mà invisible i Llei de Say) (pero vore més avall: discussió)

Leandro Lyra Braga Dognini en "Processos Estocàstics Senar-Tâtonnement i el Principi d'Atracció" (2025) demostra el "Primera Teorema del Benestar Estocàstic".

Paul Milgrom i Mitchell Watt (2025) en "Un mecanisme walrasiano en marge per a mercats no convexos" demostren el "Primera Teorema del Benestar en Forma Acotada".

Segona teorema fonamental

Esta segona teorema va ser propost originalment per Abba Lerner en la seua “ Economia del Control”

Hem vist que cada equilibri és “eficient”. No obstant això no implica necessàriament que totes i cada una de les possibles alternatives eficients d'assignació de recursos conduiran a un equilibri de llarc determini o competitiu. Açò és lo que la segona teorema -coneguda també com a teorema inversa- busca establir: cada assignació eficient serà mantinguda en equilibri per un conjunt donat de preus.

Eixa asserció és més “forta” o àmplia que l'establida per la primera teorema. Per a conseguir-la és necessari, en conseqüència, una série de condicions o supòsits més restrictius que en el cas anterior.

Archiu:Herleitung der Transformationskurve aus der Edgeworth-Box 2.jpg

Ilustració de relacions.

El supòsit principal és que les preferències dels consumidors poden ser representades o corresponen a una curva convexa (I) Adicionalment és necessari assumir que tals curves són contínues i transitivas. (vore curves d'indiferència

La segona condició és que eixes preferències no estan asseciades localment. Este supòsit és similar al que es va establir per a la primera teorema

A pesar de que tals suposts són qüestionables és necessari acceptar-los per a continuar en l'argumentació.

Acceptant lo anterior, estem en condicions de tornar a expressar la segona teorema com afirmant que qualsevol relació de recursos que siga eficient d'acort en Pareto establirà un equilibri general en un punt determinat pels preus.

Per a això sembla convenient procedir en dos passos: primer, establir que cada relació o assignació de recursos establix un casi equilibri, i, segon, que tals casi equilibris en assignació eficients poden aplegar a ser o es transformen en equilibris de llarc determini donades certes condicions. (és dir, certs preus)

Primer pas: definixca's una assignació donada de recursos (x*,i*) com aquella (Xi*) en la qual hi ha un casi equilibri -és dir, s'observen intercanvis reals en un cert mercat. En eixa assignació hi ha una curva de preus (p) i una dels nivells efectius de riquea (R) que s'han obtingut a través de la circulació de diners tals que:

∑h Rh =∑ B ⋄ p + ∑Pe . pe (vore primera teorema)

i

p ⋄ Pe ≤ p ⋄ Pe* per a cada Pe que siga part del conjunt de bens produïts Pe*.

(és dir, que els guanys d'una empresa qualsevol (i) s'maximizar si es produïra Pe* (note's que “i” inclou individus, els que “produïxen” treball, etc)

Definase Vaig vore com sent igual les possibles relacions (compra-vendes) preferides per individu i a la que existix en Xi* i dejese a V ser la suma de tals Vaig vore. Vaig vore és convexo -per asumcion- degut a que és una relació de preferència i V és convexa perque és la suma de Vaig vore. Similarmente, Pe + B (la suma de tots els conjunts de bens produïts més l'agregat de bens) és convexo perque cada Pe és convexo.

Podem vore que les curves V, I i B no es poden creuar, o, més formalment, que l'intersecció de V, I i B no és vàlida o deu ser nula, perque d'una atra manera implicaria que, per al conjunt d'individus i deu haver un agregat de bens (Pe + B) que és preferida a l'establida per (x*,i*) i és obtenible en els recursos disponibles per a la suma d'individus. (vore primera teorema)

Lo anterior nos permet tractar eixes curves conforme a la teorema de l'eix de separació de Minkowski Aplicat a esta situació, eixa teorema mostra que hi ha una curva de preus diferent a 0 -un número r - tal que p ⋄ v ≥ r per a cada v que pertanyga a V i p ⋄ Pe ≤ r per cada Pe que pertanyga a Pe*+ B. En atres paraules, existix un vector de preus que definix una llínea que separa perfectament eixos dos conjunts convexos.

Podem vore també que, ya que la preferència per Vaig vore ≥ xi* (per definició més dalt), seguix que p (∑ Vaig vore) ≥ r. En atres paraules, ya que hi ha una relació o ‘canastra de bens a comprar’ per a l'individu (Vaig vore) que és preferida l'establida per x*, i ya que tal conjunt de relacions està delimitat per r, seguix que V està delimitat o tancat matemàticament per Vaig vore. (en atres paraules, hi ha un “espai” constituït per totes les possibles compres preferencials d'un individu. Eixe espai està delimitat pel cas de màxima preferència)

Pero lo mateixa s'aplica a la relació establida per X. És dir, hi ha una (x*) tal que és preferida a totes. I eixa x* establix el llímit a totes les contingudes en X. Pero sabem també que la relació x* és part de la suma de Pe + B, per lo tant ∑ x* ≤ r. Seguix per lo tant que x* = r . (és dir, x* constituïx el llímit en el qual les preferències individuals es troben, o la llínea de preferència que delimita totes les atres curves de preferències)

Es pot vore llavors que, encara havent relacions de preus i bens tals que serà n preferides per individus, els individus en el seu conjunt gravitaran al cas que llimita cada univers de preferències individuals. Eixe case llímit és x* i és el punt en el qual les preferències individuals es troben o coincidixen.

Tot lo anterior implica que donada una riquea tal que Ri = p⋄ x* per a cada individu, s'establix un casi equilibri. En atres paraules, hi haurà compra-vendes o intercanvis reals. Eixe punt s'establix en el cas de que delimita les curves individuals de preferències, és dir, en l'establida per l'Òptim de Pareto.

Lo mateixa s'aplica a empreses.

Ara nos tornem a la situació que transforma eixa estabilitat parcial en una permanent, és dir, en un equilibri competitiu. Això és equivalent a dir que les relacions entre les preferències individuals “consensuales” establides més arriba (x*) i bens (B) i preus (p) són estables si i solament si p ⋄ x* < ∑ Ri (és dir, solament si les relacions són obtenibles donada la riquea conjunta). Per a això és necessari novament assumir que les relacions de preferències individuals Vaig vore són convexas i contínues (és dir, són relativament estables, sense canvis bruscs).

Si eixe és el cas, existix una curva de consum individual (c’i) que pertany a totes els possibles curves de consum (Ci) i és sostenible per la riquea de l'individu (p ⋄ c’i < Ri)

Pero sabem -per la teorema anterior- que:

∑h Rh =∑ B ⋄ p + ∑Pe . pe

ya que i (individus) no poden ser uns atres que h (habitants) seguix que assumint que ∑Pe . pe siga igual que ∑h Rh - ∑ B ⋄ p, la situació serà estable.

En atres paraules, per a que un casi equilibri o equilibri temporal es transforma en un permanent basta que les curves de consum siguen convexas (vore: teoria de les expectatives racionals) i que existixca un ben o una canastra de bens (x*) que a lo més siga igual en deseabilidad (o preu) que les que ya s'han obtingut.

Seguixen llavors que una situació eficient d'acort en Pareto establirà un equilibri de llarc determini si assumim que els consumidors es comporten racionalmente en térmens econòmics, és dir, si busquen maximizar els seus beneficis a partir d'una distribució donada dels recursos econòmics.

Esta conclusió s'interpreta, generalment, com significant que seria possible obtindre un estat desijable de distribució de recursos econòmics a partir, simplement, d'una redistribució original de tals recursos, sense necessitat posterior de recórrer a “ajustaments” continus o repetitius. Aixina, per eixemple, Davis afirma: “(La segona teorema del benestar) Diu que, donada algunes restriccions adicionals, un resultat Òptim de Pareto pot ser conseguit com un equilibri competitiu a través de transferències adequades de sumes de diners (“lump sum transfers”, en l'original) . Aixina, si no nos agrada l'Òptim de Pareto particular que resulte, enactamos (atres) transferències que donen millors resultats socials (donat algun criteri de benestar social)”

Discussió

Com hem vist, la primera teorema és generalment considerat com la confirmació analítica de l'hipòtesis de “la mà invisible” d'Adam Smith. En atres paraules, la confirmació de la percepció que mercats competitius duen a una assignació eficient dels recursos econòmics. En eixe sentit -s'alega- la teorema recolza la no intervenció estatal en assunts econòmics: deixe's que el mercat opere lliurement i el resultat serà eficient en térmens de Pareto.

No obstant, s'ha sugerit que la situació descrita en la primera teorema depén -a fi d'aplegar a l'eficiència de Pareto- en certes condicions, conegudes en el seu conjunt com de competència perfecta. No obstant, tal condició és un ideal que no existix en el món real. Per eixemple, Greenwald i Stiglitz varen publicar una teorema (el cridat Teorema de l'Asimetria de l'informació) que establix que, en la presència ya siga d'informació imperfecta o mercats no perfectament competitius, el resultat no és eficient en térmens de Pareto. Seguix que en la majoria de les situacions de l'economia en el món real, eixes desviacions de les condicions ideals deuen ser preses en conte.

Adicionalment s'ha alegat que eficiència en térmens de Pareto no és ni una definició precisa de “eficiència” ni equivalent a desijable. El terme “Òptim de Pareto” simplement indica una situació en la qual no es pot millorar la situació d'algú sense fer que algun atre siga pijor . Per eixemple, si un individu posseïx el 99% de la riquea i el 99% de la població es repartix d'alguna manera l'atre 1%, això és un Òptim de Pareto, en que no es pot millorar la situació d'eixe 99% sense reduir la de l'individu que té tot. Pero igualment òptima per a Pareto seria l'atra situació en la qual cada individu en una societat tinga exactament lo mateix que qualsevol un atre. Lo mateixa es pot dir de les numeroses possibilitats intermiges. Des del punt de vista de l'Òptim de Pareto, no hi ha un criteri que permeta seleccionar una com a preferible a les atres. Açò implica que el criteri de optimalidad de Pareto és dèbil en relació en elegir propostes concretes que maximizar el benestar general.

En conseqüència Amartya Sen senyala que pot haver moltes situacions que són eficients en terme de Pareto sense que totes siguen igualment desijables o acceptables des del punt de vista de la societat (o els seus membres).

Encara més, pot haver situacions que no són òptimes d'acort en Pareto pero que no obstant són preferibles des del punt de vista general. Per eixemple, en una situació hipotètica en la qual el 10% de la població posseïra el 90% de la riquea general i el 90% restant de la població posseïra el 10% de la riquea, mides redistribuïdes podrien ser vistes en general no només com equitables, sino que podrien tindre un efecte positiu en l'economia general, en la mida que un aument en la demanda pot incrementar la producció. Un argument en eixe sentit és alvançat per Davis (vore també keynesianismo)

Parcialment com a conseqüència de lo anterior, Lerner va sugerir una nova aproximació. Basat en el seu concepte de “eficiència de distribució”, la qual es medix en relació en l'eficiència en la qual aquells que necessiten els bens i servicis els reben Lerner argumenta que a la major eficiència de distribució, el major benestar general. Pero eixa millor distribució de bens i servicis implica a la seua volta una millor distribució dels mijos d'accés a tals bens i servicis en la societat, o, més formalment: “assumint que una cantitat fixa d'ingrés, una funció social de benestar cóncava, funcions individuals de benestar també de tipo cóncau, i que estes es distribuïxen en forma equiprobabilística entre els membres de la societat, la maximización de l'esperança matemàtica del benestar de la societat s'alcança solament quan l'ingrés es distribuïx de manera igualitaria. (Una demostració d'esta teorema es troba en Sen, A.K. Sobre la desigualtat econòmica. Editorial Crítica. (1979).”

No obstant, tal sugerència implica la necessitat no solament d'un criteri econòmic per a efectuar la redistribució sino un mecanisme efectiu. Adicionalment, si, per qualsevol motiu acceptem que els mercats són el mecanisme, si no immillorable, per lo manco el més efectiu en regular una economia a fi de conseguir equilibri competitiu o, alternativament, creem que és convenient en térmens, per lo manco, polítics, minimisar les intervencions de l'estat, açò impon una demanda adicional sobre les possibles solucions.

La segona teorema establix que, de la totalitat de possibles resultats que són eficients en térmens de Pareto, es pot conseguir un d'específic a través de simplement alterar les condicions inicials i posteriorment deixant que el mercat actue lliurement. En atres paraules, que es pot “triar” un d'eixos resultats a través de la distribució o redistribució general a la població d'una “suma de riquea” adequada. Per eixemple, si es distribuïx tota la riquea de la societat igualment entre els seus membres, eixa distribució durà -segons l'argument- a un Òptim de Pareto. I, si s'assumix ademés que s'està en una situació de competència perfecta, eixa distribució serà estable, tendirà a perpetuar-se en el futur.

Açò sugerix que l'intervenció estatal té un paper llegítim en política econòmica: la redistribució nos pot ajudar a implementar, seleccionant entre tots eixos possibles resultats Òptims d'acort en Pareto, aquell que tinga les característiques desijades, no solament d'acort en criteris externs (per eixemple: ètic o polítics) sino de racionalitat econòmica i benestar social. Per eixemple, la proposta per Lerner.

Esta proposta té la ventaja adicional que supera el problema del coneiximent requerit per a efectuar atres propostes redistribuïdes. Com s'ha senyalat propostes que requerixen l'intervenció continuada de l'estat en l'economia demanden que el govern o qualsevol siga l'organisme a càrrec de tal intervenció posseïxca coneiximent que voreja en lo perfecte de les preferències dels consumidors i les funcions de producció de les empreses (lo que sembla, per lo manco, qüestionable) en orden a elegir les mides d'intervenció adequades. Una redistribució “original” evita eixe problema.

No obstant, no és obvi com un govern en el món real pot efectuar tal redistribució: transferències de capital o diners són difícil d'implementar i -conseqüentment- casi mai empleades. imposts proporcionals poden aplegar a tindre efectes distorsionantes en l'economia en general, en especial, ya que alteren els ingressos relatius dels factors de producció , distorsionant i disturbando l'estructura productiva. Com Davis (op.cit) observa a continuació de lo citat més dalt “Per supost, quan contemplem el món real, millor també considerem si tals transferències són econòmica o políticament realisables.”

Possibles solucions a este problema envolen, entre unes atres, consideracions de “compensació” a els qui siguen afectats negativament per les polítiques redistributives. Vàries propostes existixen en eixe sentit

i tenen una certa atracció ya que la proposta: “ es basa en la noció que és provable que poques polítiques vagen a beneficiar (directament) a absolutament tots, i que, si eixe anara el criteri potser seríem capaços d'implementar molt poc”. Aixina, per eixemple, si les polítiques redistributives realment incrementen la producció (a través d'un increment en la demanda) l'increment en els guanys que resulten d'un procés redistributiu poden ser vistes com la compensació necessària per la demanda en la riquea (imposts) que la redistribució impon. En resum, tota la construcció sobre equilibris walrasianos i els seus derivats paretianos, es basen en una falàcia, ya demostrada matemàticament per John Nash, i és que no té sentit algun preestablir una regla de comportament completament falaz com lo és la satisfacció finita del consumidor, per a validar una teoria...violenta el més mínim principi científic i més be deixa en evidència, el maneig intelectual d'alumnes i estudiants per a defendre un model fallanc, que a estes altures del desenroll humà, explota per tots costats.

Vore també

• Economia del benestar
• Competència perfecta
• Benestar social
• Llei de Walras
• Política econòmica
• Teoria de l'equilibri general
• Teoria del Segon Millor
• Pigou i l'economia del benestar

Bibliografia

• Almoguera Carreres, Joaquín i uns atres: “Estat, Justícia, drets” - Springer Science & Business, (2002) accessió parcial ací
• Lerner, Abba: Economia del Control. - Fondo de Cultura Econòmica (1951)
• Sen, A.K: Benestar, Justícia i Mercat:.- Edicions Paidós Ibèrica (1997)
• Sen, A.K: Sobre ètica i economia. Aliança Editorial, S.A (2003).
• Stiglitz, Joseph: L'economia del sector públic. (Antoni Bosch 2000) cap 3.
• Ferguson i J. p Gould: Teoria microeconómica (1984) cap 15.
• Villar, A: Lliçons de Microeconomía. (Antoni Bosch. -1999)

Bibliografia en llínea

• Aganofow, Alejandro: ^{[enllaç trencat]}
• García, Pablo i Hoffman, Silvia T: El Benestar com a Preferència i les Medicions de Pobrea [2] archivat en Wayback Machine.
• Gavito, , Leopoldo P.: Una Aproximació Elemental a la Microeconomía
• Gonzales, Jorge Ivan: POLÍTICOS, PREDICADORES I MERCADOS (comentari sobre un llibre)
• Hayek, Friedrich A. (September 1945), "The Use of Knowledge in Society", American Economic Review (American Economic Association) XXXV (n.º 4): 519-530, (en anglés)

• Sen, A.K: Debats sobre teoria del capital. (Artícul - 1974)
• Sen, A.K revisió de : BIENESTAR, JUSTICIA I MERCADO en “Revista espanyola de control extern” Vol. 1, N.º 1, 1999 , (pags. 224-226)
• KC Border (2001): The Second Welfare Theorem
• Artícul d'opinió:Llatinoamèrica necessita una política fiscal més redistributiva, diuen experts