Llei de Walras

La Llei de Walras és, en la teoria de l'equilibri general, un principi que establix que la suma de la demanda (o demanda agregada) (D) deu igualar, prenent en consideració els preus (p), a la suma de l'oferta (S). És dir, Σ pD - Σ pS = 0.^[1]

De lo anterior, seguixen dos corolaris:

Si en un sistema de n mercats hi ha equilibri en n − 1 mercats, el n-ésimo mercat estarà en equilibri.
Si en un sistema de mercats hi ha un excés de demanda positiu en algun sector, llavors deu haver a lo manco algun atre sector en el qual hi ha un excés de demanda negatiu.

Orige i hipòtesis

El principi és anomenat aixina en honor de Léon Walras, qui ho divulgue en les seues càtedra en l'Universitat de Lausana, formalisant una proposta anterior (A la seua volta derivada de la Llei de Say) de John Stuart Mill en les seues Essays on Some Unsettled Questions of Political Economy (1844).^[2]

Walras generalisa a partir del procés de tâtonnement walrasiano o subasta per tanteig en economies en les quals existixen molts productors i cap pot controlar directament el preu. És dir, assumix competència perfecta. Walras postula que tots els bens presents en eixe mercat pertanyen a la categoria de ben desijable i qualsevol be en excés d'oferta és sempre un ben gratuït.

Adicionalment, Walras assumix explícitament que tots els ingréss dels participants en els mercats solament s'originen de la venda de bens que ells posseïxen (lo que implica que el treball és considerat una mercaderia) i que la totalitat d'eixos ingressos seran utilisats directa i immediatament en el mercat (és dir, no hi ha aforros).

Des d'eixe punt de vista, Walras considera que tots els participants en el mercat són productors (incloent els individus o llars, els qui «produïxen treball») i, conseqüentment, tots són «aceptadores de preu» (preneurs de prix en francés, price takers en anglés.) en la mida que tots estan subjectes a los efectos de la demanda.

Hi ha també una varietat de assunció implícites que són objecte de debat (vore més avall)

Formulació

En térmens formals la llei de Walras s'expressa generalment de la següent manera: per a qualsevol sistema econòmic, estiga o no en equilibri, hi ha un conjunt de preus reals ( vector en el llenguage formal) tal que la suma dels preus totals de tot lo oferit equival a la suma de la demanda medida en diners, conseqüentment, la substracció d'abdós cantitats és zero i tot lo posat en el mercat es ven, lo que du al vaciamiento del mercat.^[3]

\vec{p} \sum_{i = 1}^{n} [d (\vec{p}) - s (\vec{p})] = 0

En la qual d és la demanda, s és l'oferta (de l'anglés supply) i $\vec{p}$ és el vector de preus.

Una formulació alternativa, seguint la terminologia walrasiana, que considera que tota oferta es pot considerar demanda per algun atre ben (vore llei de Say) és:

$\sum_{i = 1}^{n} p_{i} E_{i} = 0$

La qual establix que si definim l'excés de demanda (I) sobre un ben «i» (d'un univers «n» de bens) com sent $E_{i}$ , i assumim que tot lo comprat iguala (monetariamente) a tot lo venut o tots els ingressos equivalen a totes les vendes, seguix que tot lo que els individus poden comprar (demandar) és igual a tots els preus de lo venut. Seguix que la suma de qualsevol putativa excés de demanda és zero (o que els excessos en un sector del mercat deuen equivaldre exactament, en térmens monetaris, a les deficiències en un atre sector^[4]).

L'aproximació conceptual a lo anterior és intuïtiva:^[5] si assumim que els ingressos solament provenen de la venda —incloent venda de treball— tot lo comprat deu igualar-se exactament a tot lo venut i no pot haver excedents monetaris de cap tipo. Açò és més clar encara si no prenem els diners en consideració i concebem les compravendes com a intercanvis d'un be per un atre (Llei de Say). (Note's que lo anterior no establix que els mercats estiguen en equilibri; solament que, en principi, no pot haver un excés o falta de demanda). Una aproximació alternativa emfatisa alguns dels elements de la problemàtica de la proposta: és el cas que en una economia qualsevol tot lo venut deu equivaldre exactament a tot lo comprat. Eixa situació no equival necessàriament a l'equilibri tal com Walras ho definix.^[6] Això establix un univers o conjunt d'interrelacions de preus tals que tots duen a la venda de tot lo produït.

Existixen una varietat de demostracions formals de lo anterior.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]

Adicionalment Walras postula que d'eixe univers de preus hi ha un conjunt específic (vector) tal que du a eixe equilibri.^[13]

La demostració més general de que hi ha un vector de preus tal que conduïxen a l'equilibri és molt més complexa^[14] i es deriva del treball de John von Neumann^[15] que, a la seua volta, es basa en el Teorema del punt fix de Brouwer i la seua generalisació, el Teorema del punt fix de Kakutani. Tals propostes varen donar orige a una varietat de demostracions econòmiques,^[16]^[17] tals com el Teorema d'Equivalència de Uzawa^[18] que establix que «l'existència d'equilibri walrasiano és equivalent a la teorema del punt fix de Brouwer, és dir, l'existència d'un punt fix per a qualsevol funció contínua d'un símplex n-dimensional a sí mateixa». Potser la demostració més accessible es troba en l'obra d'Hal Varian.^[19]

Una aproximació alternativa simplement assumix l'existència d'equilibri i es concentra en demostrar que tal equilibri és estable. Açò es basa en l'existència de bens substitutius i l'us de les matrius de diagonal dominant^[20]^[21] (vore método de Jacobi).^[22] Esta aproximació va ser introduïda per Lionel Mckenzie.^[23]

La demostració dels corolaris és trivial.

Notes i referències

↑ Don Patinkin, [1987] 2008. "Walras's Law," The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Resum accessible [1] archivat en Wayback Machine.
↑ «És ben conegut que la cantitat de qualsevol mercaderia que pot ser venuda varia en el preu. Quant més alt siga el preu menys seran els compradors i menor la cantitat venuda. Quant més baix siga el preu major sera, en general, el número de compradors i major serà la cantitat venuda. Est és el cas de casi tots els productes, qualsevol que siguen: encara que d'alguns productes per a disminuir el consum en qualsevol grau requeriria un aument molt major del preu que en uns atres.» «Qualsevol que siga la mercaderia — estant donada l'oferta en qualsevol mercat, hi ha algun preu en el que el conjunt de l'oferta trobarà exactament compradors i no més. Eixe, qualsevol que siga, és el preu al com, per l'efecte de la competència, la mercaderia serà venuda. Si el preu és més alt el conjunt de l'oferta no serà venuda, i els venedors, per la seua competència, faran baixar el preu. Si el preu és menor, hauran compradors per a una major oferta, i la competència d'estos compradors elevarà el preu.», «Açò, llavors, és lo que volem dir quan diem que el preu o valor de canvi depén de l'oferta i la demanda. Expressaríem el principi en més precisió, si diguérem, que el preu es regula de tal manera que la demanda serà exactament suficient per a absorbir el suministrament». Stuart Mill, John (1844). «Esay I: Of the laws of interchange between nations; and the distribution of the gains of commerce among the countries of the commercial world», Essays on some unsettled Questions of Political Economy.
↑ John Stuart Mill (1844): "No pot haver mai, es diu, una falta de compradors de tots els productes, perque qui oferix un producte per a la venda, desija obtindre una mercaderia a canvi d'ella, i per tant és un comprador pel mer fet de ser un venedor. Els venedors i els compradors, prenent tots els productes en el seu conjunt, deuen, per la necessitat metafísica del cas, estar en un equilibri exacte entre sí, i si hi ha més venedors que compradors d'una cosa, deu haver més compradors que venedors d'unes atres." "Este argument esta, evidentment, fundada en la suposició d'una situació de trueque, i, donat eixe supòsit, és perfectament incontestable. Quan dos persones realisen un acte de trueque, cada u d'ells és al mateix temps un venedor i un comprador. Ell no pot vendre sense comprar. A menos que opte per comprar productes d'una atra persona, no ven el seu." "A fin de que l'argument de l'impossibilitat d'un excés de tots els productes siga aplicable al cas en el qual s'ampra un mig de circulació, els diners deu ser considerat com una mercaderia. Deu, sense dubte, ser admés que no pot haver un excés de totes les demés mercaderies i un excés de diners, al mateix temps."...." És, no obstant de suma importància observar que l'excés de totes les mercaderies, en l'únic sentit en que és possible, només significa una caiguda temporal en el seu valor relativament als diners. Supondre que els mercats de tots els productes podrien, en algun sentit que no siga est, tindre un excés implica l'absurt que els productes poden caure en un valor relativament a sí mateixos, o que de dos productes, cada u pot caure en preu relativament a l'atre, A convertint-se en equivalent a B - x i B a A-x al mateix temps. I és, potser raó suficient per a no utilisar frases d'esta classe que sugerixen l'idea d'una producció excessiva. Una falta de mercat per a un artícul pot derivar-se d'una excessiva producció d'eixe artícul, pero quan les mercaderies en general es tornen invendibles, és per una causa molt diferent, no pot haver una excessiva producció de mercaderies en general." en Essays on some unsettled Questions of Political Economy ESSAY II. OF THE INFLUENCE OF CONSUMPTION ON PRODUCTION.
↑ Per a un anàlisis més detallat, vore Lefteris Tsoulfidis; Competing Schools of Economic Thought p. 173 i ss
↑ Hal R. Varian: “La llei de Walras diu alguna cosa prou obvi: si cada u dels individus satisfà la seua restricció presupostària, de tal manera que el valor del seu excés de demanda és nul, el valor de la suma dels excessos de demanda deu ser nul. És important donar-se conte de que esta llei establix que el valor de l'excés de demanda és idénticamente igual a zero qualsevol que siga el preu” en Anàlisis microeconómico p. 372
↑ Ronald Wendner General Equilibrium: Positive Theory
↑ Hak Choi (2008): The Proof of the Original Walras' Law. Profitable Economics Working Paper, available at SSRN
↑ Hal R. Varian: Anàlisis microeconómico p. 372.
↑ Álvaro J. Riascos V., L'Anàlisis de Walras
↑ Robert Dixon (2000): A Formal Proof of Walras Law
↑ Ramón J. Torregrosa: Apuntes Equilibri General p. 4.
↑ Wing Suen: General Equilibrium.
↑
Sam Bucovetsky: What is an Equilibrium Price Vector?
- Archivat el 14 de decembre de 2010 archivat en Wayback Machine..
↑ Andreu Mas Colell: “A pesar dels seus esforços, Walras no va demostrar formalment que el tattonnement, entés com a mecanisme teòric, funcionara (local o globalment).... Samuelson va ser el primer que va plantejar explícitament el tatonnement com un sistema d'equacions diferencials....” en OBSERVACIONES SOBRE LA TEORIA DEL TATONNEMENT DE WALRAS p. 192.
↑
Bernard Guerrien*: «Von Newmann va ser el primer que va establir un nexe entre la noció d'equilibri i la de punt fix d'una funció, tal com s'ampra en matemàtiques; realment de la mateixa manera que un punt fix x d'una funció f permaneix constant mentres se li aplica la funció -el punt fix és tal que (f(x)=x)-; un equilibri “no es mou”, és fix, quan està somés a distintes “forces” de les quals ell és la resultant (...) És per mig de l'ocupació d'esta espècie d'analogia que John Nash prova en 1950, que tot joc no cooperatiu, és dir,aquell en el qual cada u només es preocupa pels seus propis guanys, admet a lo manco un equilibri. Ademés, la seua demostració es recolza de manera decisiva en la teorema del punt fix, establit en 1910 pel matemàtic Jan Brower, que establix que tota funció contínua i llimitada que “no efectua bots” i només pren valors finitos, admet a lo manco un punt fix». en LA MICROECONOMIA
- Archivat el 25 de novembre de 2011 archivat en Wayback Machine. p. 37-38.
↑ Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press.
↑ Geanakoplos, J. (2003). [Nash and Walras equilibrium via Brouwer, Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University.
↑ (1962).Econ. Stud. Quarterly.8
59–62.
↑ Hal R. Varian (1992): Anàlisis microeconómico p. 373 a 377.
↑ Giancarlo Gandolfo (1997): Economic dynamics pp. 252-54 i (esp) 414 (“Now, let us state without proof the following: Lemma: If the equilibrium prices llaure all positive, gross substitutability prevails, and Walras’s law, together with positive homogeneity, holds, then... (...)... Gross substitutability, then, implies global stability of general equilibrium”.)
↑ New School for Social Research Local Multi-market Stability secció (B) Gross Substitution
↑ Kenneth J Arrow (1983) General equilibrium p. 125.
↑ L.W. McKenzie (1960) «Matrius with Dominant Diagonal in Economic Theory», en Arrow, Karlin i Suppes, editors, Mathematical Methods in the Social Sciences. Stanford: Stanford University Press.

Bibliografia

Andreu Mas Colell (1974): Algunes observacions sobre la teoria del tâtonnement de Walras en economies productives
Michio Morishima (1980): ^{[enllaç trencat]}
Robert L Greenfield (1986): WALRAS'S LAW IN MACROECONOMIC DISEQUILIBRIUM
Don Patinkin (1987): Walras’ Law
Leland B. Yeager i Alan A. Rabin (1997): ^{[enllaç trencat]}
Lex Borghans (1991) ^{[enllaç trencat]}
Hal Varian (1992): Anàlisis microeconómico (cap. 17, 1-5)
Ampar Urbà S: Equilibri Walrasiano en Economies d'Intercanvi pur. Model General
Antonio Carlos Macedo i Silva: From Say’s law to Keynes, from Keynes to Walras’ law: some ironies in the history of economic thought
David M. Kreps: Curs de teoria microeconómica (cap. 6).

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ley de Walras» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Don Patinkin, [1987] 2008. "Walras's Law," The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Resum accessible [1] archivat en Wayback Machine.

[2] «És ben conegut que la cantitat de qualsevol mercaderia que pot ser venuda varia en el preu. Quant més alt siga el preu menys seran els compradors i menor la cantitat venuda. Quant més baix siga el preu major sera, en general, el número de compradors i major serà la cantitat venuda. Est és el cas de casi tots els productes, qualsevol que siguen: encara que d'alguns productes per a disminuir el consum en qualsevol grau requeriria un aument molt major del preu que en uns atres.» «Qualsevol que siga la mercaderia — estant donada l'oferta en qualsevol mercat, hi ha algun preu en el que el conjunt de l'oferta trobarà exactament compradors i no més. Eixe, qualsevol que siga, és el preu al com, per l'efecte de la competència, la mercaderia serà venuda. Si el preu és més alt el conjunt de l'oferta no serà venuda, i els venedors, per la seua competència, faran baixar el preu. Si el preu és menor, hauran compradors per a una major oferta, i la competència d'estos compradors elevarà el preu.», «Açò, llavors, és lo que volem dir quan diem que el preu o valor de canvi depén de l'oferta i la demanda. Expressaríem el principi en més precisió, si diguérem, que el preu es regula de tal manera que la demanda serà exactament suficient per a absorbir el suministrament». Stuart Mill, John (1844). «Esay I: Of the laws of interchange between nations; and the distribution of the gains of commerce among the countries of the commercial world», Essays on some unsettled Questions of Political Economy.

[3] John Stuart Mill (1844): "No pot haver mai, es diu, una falta de compradors de tots els productes, perque qui oferix un producte per a la venda, desija obtindre una mercaderia a canvi d'ella, i per tant és un comprador pel mer fet de ser un venedor. Els venedors i els compradors, prenent tots els productes en el seu conjunt, deuen, per la necessitat metafísica del cas, estar en un equilibri exacte entre sí, i si hi ha més venedors que compradors d'una cosa, deu haver més compradors que venedors d'unes atres." "Este argument esta, evidentment, fundada en la suposició d'una situació de trueque, i, donat eixe supòsit, és perfectament incontestable. Quan dos persones realisen un acte de trueque, cada u d'ells és al mateix temps un venedor i un comprador. Ell no pot vendre sense comprar. A menos que opte per comprar productes d'una atra persona, no ven el seu." "A fin de que l'argument de l'impossibilitat d'un excés de tots els productes siga aplicable al cas en el qual s'ampra un mig de circulació, els diners deu ser considerat com una mercaderia. Deu, sense dubte, ser admés que no pot haver un excés de totes les demés mercaderies i un excés de diners, al mateix temps."...." És, no obstant de suma importància observar que l'excés de totes les mercaderies, en l'únic sentit en que és possible, només significa una caiguda temporal en el seu valor relativament als diners. Supondre que els mercats de tots els productes podrien, en algun sentit que no siga est, tindre un excés implica l'absurt que els productes poden caure en un valor relativament a sí mateixos, o que de dos productes, cada u pot caure en preu relativament a l'atre, A convertint-se en equivalent a B - x i B a A-x al mateix temps. I és, potser raó suficient per a no utilisar frases d'esta classe que sugerixen l'idea d'una producció excessiva. Una falta de mercat per a un artícul pot derivar-se d'una excessiva producció d'eixe artícul, pero quan les mercaderies en general es tornen invendibles, és per una causa molt diferent, no pot haver una excessiva producció de mercaderies en general." en Essays on some unsettled Questions of Political Economy ESSAY II. OF THE INFLUENCE OF CONSUMPTION ON PRODUCTION.

[4] Per a un anàlisis més detallat, vore Lefteris Tsoulfidis; Competing Schools of Economic Thought p. 173 i ss

[5] Hal R. Varian: “La llei de Walras diu alguna cosa prou obvi: si cada u dels individus satisfà la seua restricció presupostària, de tal manera que el valor del seu excés de demanda és nul, el valor de la suma dels excessos de demanda deu ser nul. És important donar-se conte de que esta llei establix que el valor de l'excés de demanda és idénticamente igual a zero qualsevol que siga el preu” en Anàlisis microeconómico p. 372

[6] Ronald Wendner General Equilibrium: Positive Theory

[7] Hak Choi (2008): The Proof of the Original Walras' Law. Profitable Economics Working Paper, available at SSRN

[8] Hal R. Varian: Anàlisis microeconómico p. 372.

[9] Álvaro J. Riascos V., L'Anàlisis de Walras

[10] Robert Dixon (2000): A Formal Proof of Walras Law

[11] Ramón J. Torregrosa: Apuntes Equilibri General p. 4.

[12] Wing Suen: General Equilibrium.

[13] Sam Bucovetsky: What is an Equilibrium Price Vector?
Archivat el 14 de decembre de 2010 archivat en Wayback Machine..

[14] Archivat el 14 de decembre de 2010 archivat en Wayback Machine..

[14] Andreu Mas Colell: “A pesar dels seus esforços, Walras no va demostrar formalment que el tattonnement, entés com a mecanisme teòric, funcionara (local o globalment).... Samuelson va ser el primer que va plantejar explícitament el tatonnement com un sistema d'equacions diferencials....” en OBSERVACIONES SOBRE LA TEORIA DEL TATONNEMENT DE WALRAS p. 192.

[15] Bernard Guerrien*: «Von Newmann va ser el primer que va establir un nexe entre la noció d'equilibri i la de punt fix d'una funció, tal com s'ampra en matemàtiques; realment de la mateixa manera que un punt fix x d'una funció f permaneix constant mentres se li aplica la funció -el punt fix és tal que (f(x)=x)-; un equilibri “no es mou”, és fix, quan està somés a distintes “forces” de les quals ell és la resultant (...) És per mig de l'ocupació d'esta espècie d'analogia que John Nash prova en 1950, que tot joc no cooperatiu, és dir,aquell en el qual cada u només es preocupa pels seus propis guanys, admet a lo manco un equilibri. Ademés, la seua demostració es recolza de manera decisiva en la teorema del punt fix, establit en 1910 pel matemàtic Jan Brower, que establix que tota funció contínua i llimitada que “no efectua bots” i només pren valors finitos, admet a lo manco un punt fix». en LA MICROECONOMIA
Archivat el 25 de novembre de 2011 archivat en Wayback Machine. p. 37-38.

[17] Archivat el 25 de novembre de 2011 archivat en Wayback Machine. p. 37-38.

[16] Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press.

[17] Geanakoplos, J. (2003). [Nash and Walras equilibrium via Brouwer, Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University.

[18] (1962).Econ. Stud. Quarterly.8
59–62.

[19] Hal R. Varian (1992): Anàlisis microeconómico p. 373 a 377.

[20] Giancarlo Gandolfo (1997): Economic dynamics pp. 252-54 i (esp) 414 (“Now, let us state without proof the following: Lemma: If the equilibrium prices llaure all positive, gross substitutability prevails, and Walras’s law, together with positive homogeneity, holds, then... (...)... Gross substitutability, then, implies global stability of general equilibrium”.)

[21] New School for Social Research Local Multi-market Stability secció (B) Gross Substitution

[22] Kenneth J Arrow (1983) General equilibrium p. 125.

[23] L.W. McKenzie (1960) «Matrius with Dominant Diagonal in Economic Theory», en Arrow, Karlin i Suppes, editors, Mathematical Methods in the Social Sciences. Stanford: Stanford University Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]