Teorema del punt fix de Kakutani

En anàlisis matemàtic la teorema del punt fix de Kakutani (cridat aixina en honor a Shizuo Kakutani qui ho va demostrar en 1941) és una generalisació del teorema del punt fix de Brouwer que descriu condicions per a les quals una funció multivaluada definida en un subconjunt compacte i convexo del espai Euclidiano té un punt fix (és dir, un punt que és enviat baix la funció a un subconjunt que també ho conté).

La seua importància radica que ha segut aplicat en diversos problemes de l'economia i teoria de jocs, particularment per a demostrar l'existència d'equilibris de Nash en estratègies mixtes.

Definicions prèvies

Algunes definicions utilisades en la teorema són:

Una funció multivaluada φ del conjunt X al conjunt I és una regla de correspondència que associa un o més punts d'I a un punt de X. Formalment, si X i I són dos conjunts llavors qualsevol funció de la forma $\phi :X\to 2^Y$ és cridada funció multivaluada.

Es diu que una funció multivaluada $\phi :X\to 2^Y$ té una gràfica tancada si el conjunt $\{(x,y)|y\in \phi (x)\}$ és un subconjunt tancat de $X\times Y$ baixe la topología producte.

Siga $\phi :X\to 2^Y$ una funció multivaludada. Llavors a∈X és un punt fix de φ si a∈φ(a).

Vore també

• Teorema del punt fix

Referències

1. Kakutani, Shizuo (1941). "A generalization of Brouwer’s fixed point theorem". Duke Mathematical Journal 8 (3): 457–459.
2. Nash, J.F., Jr. (1950). "Equilibrium Points in N-Person Games". Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 36: 48–49.