Estratègia mixta

En teoria de jocs una estratègia mixta, a voltes també cridada estratègia mesclada (del nom en anglés mixed strategy), és una generalisació de les estratègies pures, usada per a descriure la selecció aleatòria d'entre vàries possibles estratègies pures, lo que determina sempre una distribució de provabilitat sobre el vector d'estratègies de cada jugador. Una estratègia totalment mixta és aquella en la que el jugador assigna una provabilitat estrictament positiva a cada estratègia pura. Les estratègies totalment mixtes són importants per al refinament de l'equilibri de Nash.

Definicions formals

Plantilla:Enmarañado Els matemàtics que es dediquen a la teoria de jocs han aplegat a representar formalment alguns jocs per mig d'una taula rectangular o producte cartesiano de conjunts. Els elements fonamentals per a representar formalment un joc d'eixa manera són el conjunt de jugadors (N), el conjunt d'estratègies pures disponibles ( ${D_{j}}_{j \in N}$ ) i les funcions de pagament o guany per a cada una d'eixes estratègies.

En eixes condicions la representació formal d'un "joc rectangular" consta d'un conjunt N, d'una colecció de conjunts ${D_{j}}_{j \in N}$ i d'una colecció de funcions ${φ_{j}}_{j \in N}$ a on

A N li cridarem el conjunt de jugadors, a cada $D_{j}$ el conjunt d'estratègies pures del jugador j i a $φ_{j}$ la funció de pagament del jugador j. A voltes per comoditat s'usarà una sola funció de pagament que consistirà en considerar cada $φ_{j}$ com la j-ésima component d'un vector N-dimensional, és dir, es considerarà un joc rectangular $(N, D_{j}, ϕ)$ , en

Denotarem $\prod_{i \in N} D_{i} = D$

Estratègia mixta

Donat un joc rectangular $(N, D_{j}, ϕ_{j})$ , diem que $X^{j} \in R^{l_{j}}$ és una estratègia mixta del jugador j, si para tota $σ^{j} \in D_{j}$ , $x_{σ^{j}}^{j} \geq 0$ i $\sum_{σ^{j} \in D_{j}} x_{σ j}^{j} = 1$ . El sancer $l_{j}$ denota el número d'estratègies pures del jugador j.

Intuitivamente, una estratègia mixta és un vector que associa certa provabilitat a cada estratègia pura del jugador j, d'ahí que cada entrada tinga que ser no negativa i la suma de totes elles siga 1.

En una estratègia mixta $X^{j}$ del jugador j, $x_{σ^{k}}^{j}$ s'interpreta com el pes o provabilitat que el jugador j li associa a la seua estratègia pura $σ^{k}$ .

La lletra $M_{j}$ denotarà al conjunt d'estratègies mixtes del jugador j i M al producte cartesiano dels conjunts $M_{j}$ . A cada element de M ho cridarem un perfil d'estratègies mixtes.

En particular, podem considerar una estratègia mixta de la forma $x_{σ^{k}}^{j} = 1$ per a algun k, $x_{σ^{i}}^{j} = 0$ per a tot i distint de k. Dites estratègies corresponen a les estratègies pures, d'ací que estes últimes siguen un cas particular de les estratègies mixtes.

Funció de pagament esperat

La funció de pagament esperat d'un joc rectangular $(N, {D_{j}}_{j \in N}, φ)$ és la funció $E : M \to ℝ^{N}$ definida com:

$E (X^{1}, X^{2}, ..., X^{N}) = \sum_{(σ_{1}, σ_{2}, ..., σ_{N}) \in D} x_{σ_{1}}^{1} x_{σ_{2}}^{2} ... x_{σ_{N}}^{N} φ (σ_{1}, σ_{2}, ..., σ_{N})$

Intuitivamente, la funció de pagament esperat es basa en la definició de valor esperat, és dir, el pagament promig per a cada jugador consistirà en la suma de cada guany possible (donada per $φ$ ) per la provabilitat de que es done eixe guany (esta provabilitat és justament el producte de les $σ_{j}$ ). D'ací que existixca implícitament una suposició d'independència en la presa de decisions, és dir, encara que els jugadors puguen aplegar a fer pactes, al moment de prendre la seua decisió no hi ha cap força externa que els faça mantindre la seua promesa.

Denotarem la funció de pagament esperat del jugador j com $E_{j}$ , que estarà definida com la j-ésima component de la funció de pagament esperat.

Estes funcions són importants tant en la teoria com en la pràctica, puix estan estretament relacionades en els equilibris de Nash.

Estratègies Mixtes i equilibris de Nash

Va ser John Forbes Nash en la seua tesis de doctorat qui va demostrar que qualsevol joc rectangular finito té a lo manco un equilibri de Nash en estratègies mixtes (l'existència d'equilibris no necessàriament es dona per a les estratègies pures). Els equilibris de Nash tenen importància crucial en la teoria de jocs ya que corresponen a estratègies estables.

Eixemples

Jocs de coordinació

*Un joc*
	A !B
1, 1	0, 0
B	0, 0	1, 1

El joc mostrat a la dreta es coneix com joc de coordinació. En ell, un jugador elegix les files i un atre les columnes. El jugador de les files rep la recompensa marcada pel primer dígit, el de les columnes la marcada pel segon. Si el de les files opta per jugar A en provabilitat 1 (és dir, juga A segur), llavors està jugant una estratègia pura. Si el de les columnes elegix llançar una moneda i jugar A si ix cara i B si ix creu, llavors està jugant una estratègia mixta.

Pedra, paper o tijera

Considerem el joc pedra, paper o tijera en la matriu de pagaments donada per:

	Pedra	Paper	Tijera
Pedra	0	-1	+1
Paper	+1	0	-1
Tijera	-1	+1	0

Supongam que el jugador 1 juga sempre en estratègies pures, per eixemple pedra. Llavors el jugador 2 podria traure ventaja d'això jugant sempre paper. Una millor resposta del jugador 1 seria llavors jugar en estratègies mixtes, és dir, assignar-li certa provabilitat a cada estratègia i en cada jugada elegir aleatoriamente d'acort a la distribució elegida.

Pot demostrar-se que sempre que hi haja biaix en estes provabilitats (és dir, quan se li assigne més provabilitat a una estratègia que a una atra), l'atre jugador pot traure ventaja d'això i millorar el seu pagament esperat. D'esta manera, el joc només té un equilibri de Nash i és (1/3,1/3,1/3), és dir, jugar en igual provabilitat cada estratègia (sempre i quan es mantinguen els pagaments donats per la matriu).

Competència d'empreses

Les estratègies mixtes tenen atres interpretacions ademés de la freqüència en la que s'elegix cada estratègia pura a lo llarc de distints jocs.

Considerem una empresa que té el monopoli d'un producte i una nouvinguda que vol entrar a competir per dit mercat. Just ans que la nova empresa entre al mercat, el monopoli decidix llançar una campanya de publicitat, per a la qual existixen tres opcions: Regalar productes (en un cost x), anunciar-se en la prensa escrita (en un cost i) o anunciar-se en mijos electrònics (en un cost z). La nova empresa solament té dos opcions: entrar a competir o no entrar. La matriu de pagaments del joc està donada com seguix:

	Entrar	No entrar
Regalar mostres	(40,20)	(90,0)
Prensa	(30,10)	(60,0)
Mijos electrònics	(50,-15)	(60,0)

Si el monopoli jugara en estratègies pures dedicaria tot el capital disponible per a una de les estratègies. Podem pensar en canvi que el monopoli té l'opció de no fer-se publicitat en un sol mig, sino repartir els diners disponibles en dos o més de les estratègies. Per eixemple, l'estratègia mixta (1/2,1/4,1/4) significa que el monopoli va gastar x/2 en regalar mostres, i/4 en mijos escrits i z/4 en mijos electrònics. Podem llavors usar les estratègies mixtes per a trobar la millor resposta del monopoli davant l'amenaça del competidor.

Vore també

Referències

H.S. Bierman, L. Fernández, "Game Theory with Economic Applications", Addison-Wesley, 1993.
K. Binmore, "Teoria de Jocs", McGraw-Hill, 1994.
R. Gibbons, "Un Primer Curs de Teoria de Jocs", Antoni Bosh, 1996.
Zapata L. Coloma, "Economia, Política i Atres Jocs: Una Introducció als Jocs No Cooperatius", les prenses de ciències, 2007.

en:Strategy (game theory)#Mixed strategy

Este artícul conté una traducció derivada de «Estrategia mixta» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.