Matriu de pagaments

En teoria de jocs, la matriu de pagaments (a voltes també cridada matriu de recompenses) és una matriu que resumix l'informació donada per les funcions de pagament en un joc rectangular o en un joc extensiu en la seua forma normal.

Matriu de pagaments per a jocs bipersonales de suma zero

Siga (N, Dj, φj) un joc rectangular, bipersonal i de suma zero (és dir, aquell en que el guany d'un jugador és igual a la pèrdua de l'atre). Si n i m denoten la cantitat d'estratègies del jugador 1 i 2 respectivament, llavors la matriu de pagaments del joc, de tamany nxm es definix entrada a entrada com:

$a_{ij}={\phi }_1((i),(j))$

Açò és, l'entrada i, j representarà el pagament que resulta per al jugador 1 quan este va seguir la seua estratègia i i el jugador 2 per la seua banda va usar l'estratègia j. Per a este tipo de jocs conéixer els pagaments del jugador 1 és suficient per a conéixer els pagaments del jugador 2, de modo que la matriu resumix tota l'informació necessària per a calcular dits pagaments.

Eixemple

Considerem el joc pedra, paper o tijera, a on el perdedor deu pagar una unitat monetària al guanyador i en cas d'empat no hi ha pagament per a cap. La següent taula pot considerar-se una matriu de pagaments per al joc:

	Pedra	Paper	Tijera
Pedra	0	-1	+1
Paper	+1	0	-1
Tijera	-1	+1	0

Si numerem les estratègies pedra, paper i tijera com 1, 2 i 3 respectivament, la matriu de pagaments serà per definició:

$𝔸=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

Matriu de pagaments per a jocs bipersonales

En general no és possible saber quin és el pagament per al jugador 2 coneixent solament els pagaments del jugador 1. Quan el joc no és de suma zero una matriu en entrades unidimensionals no pot mostrar tota l'informació sobre els pagaments; per a conseguir-ho és necessari introduir un vector bidimensional (que representarà el pagament per al jugador 1 i 2 respectivament) en cada entrada de la matriu. En fòrmules, açò vol dir que la matriu de pagaments per a un joc bipersonal en general està donada per:

$a_{ij}=({\phi }_1((i),(j)),{\phi }_2((i),(j)))$

Açò és, l'entrada i, j serà el vector (a,b), a on a és el pagament per al jugador 1 i b és el pagament per al jugador 2 quan el jugador 1 elegix l'estratègia i i el jugador 2 per la seua banda elegix l'estratègia j.

Eixemple

En el joc de pedra, paper o tijera es poden canviar els pagaments per a fer-ho un joc de suma distinta de zero. Supongam que una persona externa al joc paga una unitat monetària al guanyador, mentres que el perdedor no paga res. En cas d'empat, cap dels dos gana res. Si tornem a numerar les estratègies pedra, paper i tijera en 1, 2 i 3, respectivament, llavors la matriu de pagaments del joc està donada per:

$𝔸=\left(\begin{array}{ccc}(0,0)& (0,1)& (1,0)\\ (1,0)& (0,0)& (0,1)\\ (0,1)& (1,0)& (0,0)\end{array}\right)$

Des de després, la matriu de pagaments de qualsevol joc de suma zero pot expressar-se de la mateixa manera, pero en eixos casos hi haurà informació duplicada. En el primer eixemple, la matriu de pagament general per a jocs bipersonales resultaria:

$𝔸=\left(\begin{array}{ccc}(0,0)& (-1,1)& (1,-1)\\ (1,-1)& (0,0)& (-1,1)\\ (-1,1)& (1,-1)& (0,0)\end{array}\right)$

Note's que al ser de suma zero, la segona entrada de cada vector és justament l'invers aditiu de la primera entrada. D'ahí que per a jocs de suma zero siga suficient conéixer una sola de les components i que s'elimine l'atra.

Bibliografia

• H.S. Bierman, L. Fernández, Game Theory with Economic Applications, Addison-Wesley, 1993.
• K. Binmore, Teoria de jocs, McGraw-Hill, 1994.
• R. Gibbons, Un primer curs de teoria de jocs, Antoni Bosh, 1996.
• Zapata L. Coloma, Economia, política i atres jocs: una introducció als jocs no cooperatius, les prenses de ciències, 2007.