Teorema de Slutsky

En teoria de la provabilitat, la teorema de Slutsky estén algunes propietats d'operacions algebraiques sobre successions convergents de número real a successions de variables aleatòries.

La teorema du el nom de Yevgueni Slutski encara que és també atribuït a Harald Cramér.

Enunciat

Siguen {X_n}, {I_n} successions de variables aleatòries.

Si X_n convergix en distribució a una variable aleatòria X; i I_n convergix en provabilitat a una constant c, llavors

• $X_n+Y_n\stackrel{d}{\to }X+c;$
• $X_n{Y}_n\stackrel{d}{\to }cX;$
• $X_n/Y_n\stackrel{d}{\to }X/c,$   sempre que c ≠ 0,

a on $\stackrel{d}{\to }$ denota convergència en distribució.

Observacions:

1. En l'enunciat de la teorema, la condició “I_n convergix en provabilitat a una constant c” pot ser reemplaçada en “I_n convergix en distribució a una constant c” — estes dos condicions són equivalents per propietats de la convergència de variables aleatòries.
2. La condició I_n convergix a una constant és important — si convergira a una variable aleatòria no degenerada, la teorema podria no ser vàlit.
3. La teorema seguix sent vàlit si es reemplaça, en tots els casos, convergència en distribució per convergència en provabilitat per propietats de la convergència de variables aleatòries.

Demostració

Esta teorema es deduïx del fet de que si X_n convergix en distribució a X i I_n convergix en provabilitat a una constant c, llavors el vector (X_n, I_n) convergix en distribució a (X, c). Després, s'aplica el teorema de l'aplicació contínua, considerant les funciones g(x,i)=x+i, g(x,i)=xy, i g(x,i)=x⁻¹i com contínues (per a que l'última funció siga contínua, x deu ser invertible).

Vore també

• Teorema del llímit central