Teorema de Sard

La teorema de Sard, també conegut com a lema de Sard o teorema de Morse-Sard, és un resultat d'Anàlisis matemàtic que afirma que l'image del conjunt de punts crítics d'una funció contínuament diferenciable $f$ d'un espai euclídeo o varietat a un atre té mida de Lebesgue 0 (és dir, el conjunt de valors crítics és de mida nula). Açò fa que siga "menut" en el sentit d'una propietat genèrica: un valor "genèric" del codominio és regular.

Enunciat

Més explícitament (Sternberg (1964, Theorem II.3.1);Sard (1942)), siga

$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$

una aplicació de classe $C^k$, (i.i., $k$ voltes contínuament diferenciable), a on $k\ge \max \{n-m+1,1\}$. Siga $X$ el conjunt de punts crítics de $f,$ el qual és el conjunt de punts $x\in {ℝ}^n$ en els quals la Matriu Jacobiana de $f$ té ranc menor que $m$. Llavors l'image $f(X)$ té mida de Lebesgue 0 en ${ℝ}^m$.

Interpretació

Intuitivamente parlant, açò significa que encara que $X$ puga ser gran, la seua image deu ser chicoteta en el sentit de la Mida de Lebesgue: mentres que $f$ pot tindre molts punts crítics en el domini ${ℝ}^n$, deu tindre pocs valors crítics en l'image ${ℝ}^m$.

De manera més general, el resultat també és vàlit per a aplicacions entre varietats diferenciables $M$ i $N$ de dimensions $m$ i $n$, respectivament. El conjunt crític $X$ d'una funció $C^k$

$f:N\to M$

consistix en aquells punts en els que el diferencial

$df:TN\to TM$

té ranc menor que $m$ com a aplicació llineal (és dir, no és sobreyectivo). Si $k\ge \max \{n-m+1,1\}$, llavors la teorema de Sard afirma que l'image de $X$ té mida zero com a subconjunt de $M$. Esta formulació del resultat es deduïx de la versió per a espais euclídeos per mig de l'adopció d'un conjunt numerable de pegats coordenados. La conclusió de la teorema és una declaració local, ya que una unió numerable de conjunts de mida zero és un conjunt de mida zero, i la propietat de tindre mida zero un subconjunt d'un pegat coordenado és invariante baix difeomorfismos.

Referències

• .
• .
• .
• and also .
• .