Teorema de Euler per a poliedres

Archiu:Hexahedron.svg

Plantilla:SíLa coneguda gaveta en 8 vèrtiços, 12 arestes i 6 cares complix en ${\chi }_E=V-A+C=2$ la teorema del poliedre euleriano.

La teorema de Euler per a poliedres és un teorema matemàtica de la geometria de l'espai, Leonhard Euler en 1750, i publicat en l'obra "Elementa doctrinae solidorum" en 1758. La teorema indica la relació entre el número de cares, arestes i vèrtiços d'un poliedre convexo sense orificis, ni entrantes. Expressa una constant que no s'altera en cas de rotacions, translacions de dits poliedres. En la proposició també conclou que solament poden ser cinc els sòlits regulars i establix per a ells vàries relacions.

Darrere de la fòrmula està el concepte topològic de la característica $\chi$ de Euler-Poincaré. La fòrmula del poliedre de Euler és el cas especial per a $d=3$ (tres dimensions) en descuit implícit de $Z=1$ (sempre considerem un sol cos) llavors resulta un ${\chi }_E=2$:

${\chi }_E=V-A+C=2$  ($\chi$ segons la teorema del poliedre de Euler)

$\chi =V-A+C-Z=1$  ($\chi$ segons les característiques de Euler-Poincaré)

en $V=$ Número de vèrtiços, $A=$ Número d'arestes, $C=$ Número de cares i $Z=$ Número de celes.

En general, és vàlida (des de que es definix aixina) per als poliedres de la característica ${\chi }_E=2$ (o $\chi =1$), que inclou tots els poliedres convexos sense excepció i molts poliedres cóncaus "ben comportats", vore la secció validea.

Teorema dels poliedres

1. $C+V=A+2$
2. $n\cdot C=2A$
   
   
3. $r\cdot V=2A$
   
   
4. $\frac{2A}{r}-A+\frac{2A}{n}=2$
   
   
5. $\frac{1}{n}+\frac{1}{r}=\frac{1}{2}+\frac{1}{A}$
   

a on:

$C$ = Número de cares
$V$ = Número de vèrtiços
$A$ = Número d'arestes
$n$ = Número de costats del polígon regular
$r$ = Número d'arestes que convergixen en els vèrtiços

La relació (1) es diu característica de Euler i seguix complint-se para tots els poliedres convexos.

Eixemple

Per a una gaveta es té $C=6,A=12,V=8$. La característica de Euler és $V-A+C=2$. Cada cara és un quadrat, per tant $n=4$. En cada vèrtiç concorren $r=3$ arestes.

• Els casos més coneguts corresponen als poliedres regulars: tetraedre, gaveta, octaedre, dodecaedre i icosaedre.

Demostració

cal dir que Euler jamai va ser capaç de donar una demostració correcta d'este resultat, de fet la que apareix en el seu "Elementa doctrinae solidorum" era errònea. Anteriorment a 1750 pocs varen ser els que es varen dedicar a este assunt. René Descartes s'havia ocupat d'escriure el primer tractat sobre poliedres, pero va morir abans de poder publicar-ho. Despuix de la seua mort, els seus treballs varen ser traslladats a França, a on despuix de sofrir algun contratemps en dit trasllat (sembla ser que varen caure a un riu i varen ser recuperats i secats), varen aplegar a les mans de Gottfried Wilhelm Leibniz, qui es va encarregar de transcribir partix de dits treballs. No obstant dites transcripcions no varen vore la llum fins al cap de 1860, casi 80 anys despuix de la mort de Euler. Va ser Augustin Louis Cauchy qui, en 1811, va publicar la primera demostració general que es coneix.

Suponga's que s'elimina una cara del poliedre. El restant del poliedre pot ser deformat, de manera que es convertixca en una figura plana de punts i curves la frontera de les quals corresponga a les arestes de la cara eliminada (basta simplement en proyectar-ho sobre un pla). Pot supondre's, sense pèrdua de generalitat per això, que les arestes deformades són segments de llínees rectes. En realisar la proyecció, a pesar de que les cares poden presentar una forma distinta, és evident que el número de vèrtiços, cares i arestes coincidixen en els de el poliedre de partida (suponent que la cara extreta correspon a l'exterior de la figura).

A continuació s'apliquen les següents transformacions que simplifiquen la figura, pero que no afecten a la característica de Euler $V-A+C$:

1. Si algun polígon té més de tres costats, es dibuixa una diagonal. Açò afig una aresta i una cara. Es continua aixina fins que totes les cares siguen triangulars.
2. S'elimina d'un en un els triànguls en un sol costat en contacte en l'exterior. Açò disminuïx el número d'arestes i cares en una unitat, pero no altera el número de vèrtiços.
3. S'elimina d'un en un tots els triànguls que tenen dos costats en contacte en l'exterior de la figura. Açò elimina un vèrtiç, dos arestes i una cara.

Aplicant successivament els passos 2 i 3, al final queda un únic triàngul. Resulta evident que ara $C=2$ (contant l'exterior), $V=3$ i $A=3$, que la seua característica de Euler és 2.

Archiu:Cubo Teorema Euler.svg

Teorema de Euler pas a pas en la gaveta.

Validea

La teorema del poliedre de Euler s'aplica a tots els poliedres convexos. La convexidad és una condició massa forta:

• Espentar un vèrtiç del icosaedre no canvia el número de vèrtiços, arestes o cares, per lo que la convexidad no importa.
• Inclús el fet d'espentar un vèrtiç a través d'una atra cara no la canvia, sempre i quan s'ignoren les interseccions i les llínees d'intersecció que només sorgixen en la geometria.
• Tampoc és necessari un poliedre, ya que les cares curves i les arestes curves no influïxen mentres el mallado no canvie.
• En topología, a diferència de la geometria, no existix el concepte de convexidad. El càrrec no juga un paper, només les seues conexions.

No obstant, exclou de forma fiable tots els casos que conduïxen a una violació de la teorema del poliedre de Euler.

Que conduïx a les desviacions:

• Falta de llibertat de pas o falta d'orientació clara de les zones.
• El poliedre total no deu consistir espacialmente en dos o més poliedres individuals separats que es toquen només en un cantó o en una aresta. De lo contrari, aumenta ${\chi }_E$ en $1$. En la forma més general com a característica $\chi$ de Euler-Poincaré açò no supon un problema, perque al mateix temps el número de celes $Z$ també aumenta en $1$ per lo que s'aplica de nou lo següent $\chi =V-A+C-Z=1$.
• La ret de vèrtiços i arestes deu estar topológicamente conectada, és dir, deu sorgir un grafo comú. Atres gràfics aumenten ${\chi }_E$ per $2$ o es consideren de manera diferent: ${\chi }_E=V-A+C=2$ s'aplica per separat per a cada gràfic.
• El poliedre no deu contindre cap "forat" o "torra", és dir, deu tindre el gènero topològic $0$. Cada forat reduïx ${\chi }_E$ en $2$ (si el poliedre està format per cares orientables), en cas contrari en $1$.

Si estos errors s'equilibren exactament, es pot tornar a complir la teorema del poliedre de Euler, per eixemple, una gaveta en un cuboide com a forat perforat (16 vèrtiços, 24 arestes, 10 cares).

• Archiu:Octahedron.svg
  Plantilla:SíL'octaedre convexo en 6 vèrtiços, 12 arestes i 8 cares satisfà en ${\chi }_E=V-A+C=2$ la teorema del poliedre euleriano.
• Archiu:Tetrahemihexahedron rotation.gif
  El tetrahemiexaedro cóncau en 6 vèrtiços, 12 arestes, pero només 7 cares viola en ${\chi }_E=V-A+C=1$ la teorema del poliedre euleriano. Els 3 quadrats grocs interiors es creuen entre sí i no tenen costats interiors i exteriors més definits. El cos és homeomorfo a la superfície de Steiner. Ya no es pot representar com un gràfic pla.
• Archiu:Stella octangula.svg
  Plantilla:SíEl tetraedre estrela cóncau en 14 vèrtiços, 36 arestes i 24 cares torna a complir en ${\chi }_E=V-A+C=2$ la teorema del poliedre euleriano.
• Archiu:Szilassi polyhedron.gif
  El poliedre cóncau de Szilassi en un "forat" ($g=1$) en 14 vèrtiços, 21 arestes i 7 cares viola en ${\chi }_E=V-A+C=0$ la teorema del poliedre euleriano.
• Archiu:Hexagonal torus.svg
  Un "poliedre dònut" en 30 vèrtiços, 60 arestes i 30 quadrilàters com a cares viola en ${\chi }_E=V-A+C=0$ la teorema del poliedre de Euler.
• Archiu:Dodekaederstern.png
  Plantilla:SíEste poliedre cóncau té 32 vèrtiços, 90 arestes i 60 cares i satisfà en ${\chi }_E=V-A+C=2$ la teorema del poliedre euleriano. No obstant …
• Archiu:Small stellated dodecahedron.png
  … l'estrela del dodecaedre, que a primera vista sembla igual, com un cos de Kepler-Poinsot només té 12 vèrtiços (marcats en or, els atres 20 són només interseccions de les arestes), 30 arestes (que es dividixen cada una en tres per les 20 interseccions) i 12 cares (pentagrames, cada u dels quals es descompon en 5 triànguls) i viola en la teorema del poliedre de Euler ${\chi }_E=V-A+C=-6$.

Diferència entre l'octaedre i el tetrahemihexaedro

Abdós tenen el mateix número de vèrtiços i arestes. No obstant, el model de superfície del tetrahemihexaedro ya no representa un gràfic pla sense interseccions.

• Veem els 6 vèrtiços i les 12 arestes d'abdós sòlits.
• Les cares de l'octaedre són les 4 cares rojoses i les 4 cares azuladas (una de les quals és la cara exterior).
• Les cares del tetrahemihexaedro són les 4 cares roges (corresponents a les cares roges del model giratori), aixina com atres 3 cares compostes (corresponents a les cares grogues del model giratori), que ya no corresponen a zones simples del gràfic. Per a això, pren un dels 6 vèrtiços i seguix les quatre arestes d'este vèrtiç fins als vèrtiços directament conectats a este vèrtiç. Estos són els 4 vèrtiços de cada u dels 3 quadrats, cada u en les dos orientacions possibles (les cares ya no tenen un interior i un exterior), que formen les atres 3 cares.

Vore també

• Característica de Euler