Teorema de Cauchy-Kovalévskaya

En matemàtiques, la teorema de Cauchy-Kovalévskaya (també escrit com a teorema de Cauchy-Kowalevski) és la principal teorema d'existència i unicitat local per a equacions en derivades parcials analítiques associades a problemes de valors inicials de Cauchy. Un cas especial va ser demostrat per Augustin Louis Cauchy en 1842, i el resultat general va ser demostrat per Sofia Kovalévskaya en 1875.

Teorema de Cauchy-Kovalévskaya de primer orde

Esta teorema tracta sobre l'existència de solucions en un sistema de m equacions diferencials en n dimensions quan els coeficients són funcions analítiques. La teorema i la seua demostració són vàlits per a funcions analítiques de variables tant reals com a complexes.

Siga K el cos dels número real (o complexos), i siguen V = K ^m i W = K ⁿ. Sean A₁, ...., A_{n −1} funcions analítiques definides en una certa veïnat de (0, 0) en W × V que prenen valors en les matrius m × n, i siga b una funció analítica en valors en V definida en el mateix veïnat. Llavors, existix un veïnat de 0 en W en la que el problema de Cauchy cuasi-llineal

${\partial }_{x_n}f=A_1(x,f){\partial }_{x_1}f+\cdots +A_{n-1}(x,f){\partial }_{x_{n-1}}f+b(x,f)$

en condicions inicials

$f(x)=0$

en la hipersuperficie

$x_n=0$

té una solució analítica única ƒ : W → V prop de 0.

l'eixemple de Lewy demostra que la teorema no és vàlit en general per a tota funció suau (les funcions deuen ser analítiques).

La teorema també pot ser enunciat en espais vectorials abstractes (ya siguen reals o complexos). Sean V i W espais vectorials reals o complexos de dimensió finita, en n = dim W. Sean A₁, ..., A_{n −1} funcions analítiques en valors en End(V) (el conjunt de tots els endomorfismes de V) i siga b una funció analítica en valors en V, definida en cert veïnat de (0, 0) en W × V. En eixe cas, el mateix resultat es complix.

Teorema de Cauchy-Kovalévskaya d'orde superior

Si F i f_j són funcions analítiques prop de 0, llavors el problema de Cauchy no llineal

$\underset{t}{\overset{k}{\partial }}h=F(x,t,\underset{t}{\overset{j}{\partial }}\underset{x}{\overset{\alpha }{\partial }}h),\text{donde }j<k,|\alpha |+j\le k,$

en condicions inicials

$\underset{t}{\overset{j}{\partial }}h(x,0)=f_j(x),0\le j<k,$

té una solució analítica única prop de 0.

Açò se seguix del problema de primer orde quan es consideren les derivades de h que apareixen a la dreta de l'igualtat com a components d'una funció vectorial.

Eixemple

l'equació de la calor

${\partial }_{t}h=\underset{x}{\overset{2}{\partial }}h$

en la condició

$h(0,x)=\frac{1}{1+x^2}\text{ para }t=0$

té una única solució en forma de série de potències (expandida entorn a l'orige (0, 0)). No obstant, esta série de potències formal no convergix per a qualsevol valor de t distint de zero, per lo que no existix solució analítica en un veïnat de l'orige. Açò demostra que la condició |α| + j ≤ k no pot relaixar-se. (Este eixemple és atribuït a Kovalévskaya.)

Bibliografia

• Reimpreso en Oeuvres completes, Série 1, Tom VII, pp. 17–58.

• (cas llineal)
• Plantilla:Springer