Teorema 90 de Hilbert

En àlgebra abstracta, la teorema 90 de Hilbert (o Satz 90) és un resultat important en l'extensió abeliana de cossos (o en una de les seues generalisacions) que conduïx a la teoria de Kummer. En la seua forma més bàsica, establix que si L/K és una extensió de cossos en un grup de Galois cíclico G=Gal(L/K) generat per un element

$\sigma ,$

i si

$a$

és un element de L de norma d'un cos 1, és dir,

$N(a):=a\sigma (a){\sigma }^2(a)\cdots {\sigma }^{n-1}(a)=1,$

llavors existix un

$b$

en L tal que

$a=b/\sigma (b).$

Pren el seu nom de ser la teorema número 90 en el Zahlbericht de David Hilbert (Hilbert (1897)) encara que originalment es deu a Kummer (1855). A sovint es denomina en este mateix nom a una teorema més general, per Noether (1933), que establix que si L/K és una extensió de Galois finita de cossos en un grup de Galois arbitrari G = Gal(L/K), llavors la primera cohomología de grups de G, en coeficients en el grup multiplicativo de L, és trivial:

$H^1(G,L^{\times })=\{1\}.$

Eixemples

Siga $L/K$ l'extensió de cossos $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$. El grup de Galois és cíclico d'orde 2, i el seu generador $\sigma$ actua per conjugació:

$\sigma :c+di\mapsto c-di.$

Un element $a=x+yi$ en $\mathbb{Q}(i)$ té norma $a\sigma (a)=x^2+y^2$. Per lo tant, un element de norma un correspon a una solució racional de l'equació $x^2+y^2=1$ o, en atres paraules, a un punt en coordenades racionals en la circumferència goniométrica. La teorema 90 de Hilbert establix que cada element a de norma un pot escriure's com

$a=\frac{c-di}{c+di}=\frac{c^2-d^2}{c^2+d^2}-\frac{2cd}{c^2+d^2}i,$

a on $b=c+di$ és com en la conclusió de la teorema, i c i d són abdós sancers. Açò pot considerar-se com una parametrización racional dels punts racionals en la circumferència unitària. Els punts racionals $(x,y)=(p/r,q/r)$ en la circumferència unitària $x^2+y^2=1$ corresponen a ternes pitagórico, és dir, ternes $(p,q,r)$ de sancers que satisfan que $p^2+q^2=r^2$.

Cohomología

La teorema pot enunciar-se en térmens d'una cohomología de grups: si L^× és el grup multiplicativo de qualsevol extensió de Galois (no necessàriament finita) L d'un cos K en el seu corresponent grup de Galois G, llavors

$H^1(G,L^{\times })=\{1\}.$

Específicament, la cohomología de grups és la cohomología complexa, les i de les quals-cocadenas són funcions arbitràries d'i-tuplas d'elements de grup al grup de coeficients multiplicativos, $C^i(G,L^{\times })=\{\varphi :G^i\to L^{\times }\}$, en diferencials $d^i:C^i\to C^{i+1}$ definides en $i=0,1$ dimensions per:

$(d^0(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\text{y }(d^1(\varphi ))(\sigma ,\tau )=\varphi (\sigma )\varphi (\tau {)}^{\sigma }/\varphi (\sigma \tau ),$

a on $x^g$ denota l'image de l'element mòdul $G$ ($x$ baixe l'acció de l'element de grup $g\in G$. Note's que en el primer d'ells s'ha identificat un 0-complex de cadenes $\gamma ={\gamma }_b:G^0=i{d}_G\to L^{\times }$, en el seu valor d'image únic $b\in L^{\times }$.

La trivialidad del primer grup de cohomología és llavors equivalent a que els 1-cociclos $Z^1$ siguen iguals a 1-colímites $B^1$, a saber:

$\begin{array}{ccccc}{Z}^1& =& \ker d^1& =& \{\varphi \in C^1\text{satisfying }\mathrm{\forall }\sigma ,\tau \in G:\varphi (\sigma \tau )=\varphi (\sigma )\varphi (\tau {)}^{\sigma }\}\\ \text{is equal to }\\ B^1& =& \text{im }{d}^0& =& \{\varphi \in C^1:\mathrm{\exists }b\in L^{\times }\text{such that }\varphi (\sigma )=b/b^{\sigma }\mathrm{\forall }\sigma \in G\}.\end{array}$

Per a el $G=\{1,\sigma ,\dots ,{\sigma }^{n-1}\}$ cíclico, un 1-cociclo està determinat per $\varphi (\sigma )=a\in L^{\times }$, en $\varphi ({\sigma }^i)=a\sigma (a)\cdots {\sigma }^{i-1}(a)$ i:

$1=\varphi (1)=\varphi ({\sigma }^n)=a\sigma (a)\cdots {\sigma }^{n-1}(a)=N(a).$

Per un atre costat, un 1-colímite està determinat per $\varphi (\sigma )=b/b^{\sigma }$. En igualar estos térmens, s'obté la versió original de la Teorema.

Una atra generalisació és a la cohomología en coeficients no abelianos: si H és un grup llineal general o un grup llineal especial sobre L, incloent

${\mathrm{GL}}_1(L)=L^{\times }$

, llavors

$H^1(G,H)=\{1\}.$

. Una atra generalisació és a un esquema X:

$H_{\text{et}}^1(X,{𝔾}_m)=H^1(X,{𝒪}_X^{\times })=\mathrm{Pic}(X),$

a on $\mathrm{Pic}(X)$ és el grup de classes d'isomorfisme de fas localment lliures de mòduls ${𝒪}_X^{\times }$ de ranc 1 per a la topología de Zariski, i ${𝔾}_m$ és el fes definit per la llínea afí sense l'orige, considerat com un grup baix multiplicació.

Hi ha una atra generalisació de la teoria K de Milnor que juga un paper important en la prova de Voevodsky de conjectura de Milnor.

Bibliografia

• «Die Theorie der algebraischen Zahlkörper».Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.4

175–546.ISSN 0012-0456.

• «The theory of algebraic number fields».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• «Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.».Crelle (revista).50

212–232.ISSN 0075-4102.doi:10.1515/crll.1855.50.212.

• «Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter donen Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist».Abdruck aus donen Abhandlungen der KGL. Akademie der Wissenschaften zu Berlin.

Capítul II de J.S. Milne, «Teoria de Campos de Classe», disponible en el seu lloc web [1].

• (2000).«Cohomology of Number Fields».Springer-Verlag.Berlín:323
• «Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.».Mathematische Annalen.108(1)

411–419.ISSN 0025-5831.doi:10.1007/BF01452845.

• «Galois module structure».American Mathematical Society.Providence, RI: