Resultant

En matemàtiques, el resultant de dos polinomis és una expressió polinòmica dels seus coeficients que és igual a zero si i solament si els polinomis tenen alguna raïl comuna (possiblement, sobre, en una extensió de cossos), o, equivalentement, un factor comú (sobre el seu cos de coeficients). En alguns texts antics, el resultant també es diu eliminante.

El resultant s'utilisa àmpliament en teoria de números, ya siga directament o a través del discriminante, que és essencialment el resultant d'un polinomi i la seua pròpia derivada. El resultant de dos polinomis en coeficients racionals es pot calcular eficientemente per mig d'algoritmes. És una ferramenta bàsica d'àlgebra computacional, i és una funció incorporada de la majoria dels sistemes d'àlgebra computacional. S'utilisa, entre uns atres, per a la descomposició algebraica cilíndrica, l'integració de funcions racionals i el dibuix de curves definides per una equació polinòmica bivariada.

El resultant de n polinomis homogéneus en n variables (també cridat resultant multivariante o resultant de Macaulay per a distinguir-ho del resultant habitual) és una generalisació, introduïda per Macaulay, del resultant habitual. És, junt en les bases de Gröbner, una de les principals ferramentes de la teoria de l'eliminació.

Càlcul

Si es coneixen les raïls dels polinomis el seu resultant es pot calcular com:

de les diferències de les seues raïls, a on $x$ i $y$ pren valors en la clausura algebraica de $k$. Per a polinomis no mónicos en coeficients dominants $p$ i $q$, respectivament, el producte de més dalt es multiplica per

Ademés el resultant pot calcular-se en térmens dels coeficients sense necessitat de conéixer explícitament les raïls, d'ahí la seua utilitat.

Propietats de càlcul

• La resultant és el determinant de la matriu de Sylvester.
• El productorio anterior pot ser reescrit com

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)$

i esta expressió permaneix invariante si $P$ es reduïx mòdul $Q$.

• Siga $P^{\prime }=PmodQ$. L'idea anterior pot ser aplicada intercanviant els papers de $P^{\prime }$ i $Q$. No obstant, $P^{\prime }$ té un conjunt de raïls diferents de les de $P$. Açò pot ser resolt escrivint $\prod _{Q(y)=0}{P}^{\prime }(y)$ com un determinant una atra volta, a on $P^{\prime }$ té com a coeficients no dominants el zero. Este determinant pot ser simplificat per mig d'una expansió iterativa en respecte la columna, a on solament el coeficient dominant $q$ de $Q$ apareix.

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=q^{\mathrm{deg}P-\mathrm{deg}{P}^{\prime }}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P^{\prime },Q)$

Continuant este procediment obtenim una variant del algoritme de Euclides. Este procediment necessita temps d'eixecució quadràtic.