Pseudoespectro

En matemàtiques, el pseudoespectro d'un operador és un conjunt que conté l'espectre de l'operador i els valors que són "casi" valors propis. Conéixer el pseudoespectro resulta particularment útil per a comprendre els operadors no normals i les seues funcions pròpies.

El $ϵ$-pseudoespectro d'una matriu $A$ està constituït per tots els valors propis de les matrius $ϵ$-propenques a $A$:

$${\Lambda }_{ϵ}(A)=\{\lambda \in ℂ\mid \mathrm{\exists }x\in {ℂ}^n\setminus \{0\},\mathrm{\exists }E\in {ℂ}^{n\times n}:(A+E)x=\lambda x,\Vert E\Vert \le ϵ\}.$$

Els métodos numèrics per al càlcul dels valors propis d'una matriu cometen errors pel grosseig i atres factors. Estos errors poden descriure's per mig de la matriu $E$.

De forma més general, considerant espais de Banach $X,Y$, es pot definir el $ϵ$-pseudoespectro de l'operador $A:X\to Y$ (denotat per ${\text{sp}}_{ϵ}(A)$) de la següent manera:

$${\text{sp}}_{ϵ}(A)=\{\lambda \in ℂ\mid \Vert (A-\lambda I{)}^{-1}\Vert \ge 1/ϵ\},$$

a on, per conveni, es pren $\Vert (A-\lambda I{)}^{-1}\Vert =\mathrm{\infty }$ si $A-\lambda I$ no és invertible.