Principi del diamant

En matemàtiques, i particularment en teoria de conjunts, el principi del diamant ◊ ("diamondsuit" en anglés) és un principi combinatori introduït per Ronald Jensen en 1972, que es complix en l'univers constructible (L) i que implica l'hipòtesis del continu. Jensen va extraure el principi del diamant de la seua prova de que l'axioma de constructibilidad (V = L) implica l'existència d'un arbre de Suslin.

Definicions

El principi del diamant ◊ diu que existix una seqüència ◊, una família de conjunts A_α ⊆ α per a α < ω₁ tal que per a qualsevol subconjunt A de ω₁ el conjunt de α en A ∩ α = A_α és estacionario en ω₁.

Existixen vàries formes equivalents del principi del diamant. Un afirma que hi ha una colecció contable A_α de subconjunts de α per a cada ordinal contable α, de modo que per a qualsevol subconjunt A de ω₁ hi ha un subconjunt estacionario C de ω₁ de modo que para tots els α en C es té que A ∩ α ∈ A_α i C ∩ α ∈ A_α. Una atra forma equivalent establix que existixen conjunts A_α ⊆ α per a α < ω₁ tals que per a qualsevol subconjunt A de ω₁ hi ha a lo manco un α infinit en A ∩ α = A_α.

De manera més general, per a un cardinal κ donat i un conjunt estacionario S ⊆ κ, la declaració ◊_S (a voltes escrita ◊(S) o ◊_κ(S)) és la declaració de que existix un successió ⟨A_α : α ∈ S⟩ tal que

• Cada A_α ⊆ α
• Per a cada A ⊆ κ, {α ∈ S : A ∩ α = A_α} és estacionario en κ

El principi ◊_ω1 és el mateix que ◊.

El principi del diamant plus ◊⁺ establix que existix una seqüència ◊⁺, en atres paraules, una colecció numerable A_α de subconjunts de α per a cada ordinal contable α tal que per a qualsevol subconjunt A de ω₁ hi ha un subconjunt illimitat tancat C de ω₁, de modo que para tots els α en C es té que A ∩ α ∈ A_α i C ∩ α ∈ A_α.

Propietats i us

Jensen (1972) va demostrar que el principi del diamant ◊ implica l'existència del arbre de Suslin. També va demostrar que V = L implica el principi del diamant plus, que implica el principi del diamant, que a la seua volta implica l'hipòtesis del continu (HC). En particular, el principi del diamant i el principi del diamant plus són abdós independents dels axioma de Zermelo-Fraenkel. També ♣ + HC implica ◊, pero Shelah va donar models de ♣ + ¬ HC, per lo que ◊ i ♣ no són equivalents (més be, ♣ és més dèbil que ◊).

Matet va demostrar que el principi ${\mathrm{♢}}_{\kappa }$ és equivalent a una propietat de les particions de $\kappa$ en intersecció diagonal dels segments inicials de les particions estacionarias en $\kappa$.

El principi del diamant ◊ no implica l'existència d'un arbre de Kurepa, pero el principi ◊⁺ més fort implica tant el principi ◊ com l'existència d'un arbre de Kurepa.

Akemann y Weaver (2004) va usar ◊ per a construir un C*-àlgebra que servira com contraeixemple per al problema de Naimark.

Per a tots els cardinals κ i conjunts estacionarios S ⊆ κ⁺, ◊_S es manté en univers constructible. Shelah (2010) va demostrar que per a κ > ℵ₀, ◊_κ⁺(S) es deriva de 2^κ = κ⁺ per a S estacionario que no conté ordinals de cofinalidad κ.

Shelah va demostrar que el principi del diamant resol el problema de Whitehead en implicar que cada grup de Whitehead és lliure.

Vore també

• Anex:Declaracions independents dels axioma de Zermelo-Frankel
• Declaracions verdaderes en L

Bibliografia

• Akemann, Charles; Weaver, Nik(2004).«Consistency of a counterexample to Naimark's problem».Proceedings of the National Academy of Sciences.101(20): 7522–7525.doi:10.1073/pnas.0401489101.
• Jensen, R. Björn(1972).«The fine structure of the constructible hierarchy».Annals of Mathematical Logic.4(3): 229–308.doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0.
• Rinot, Assaf (2011). «Jensen's diamond principle and its relatives», Set theory and its applications (vol. 533), Providence, RI: AMS, pp. 125–156. ISBN 978-0-8218-4812-8.
• Shelah, Saharon(1974).«Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions».Israel Journal of Mathematics.18(3): 243–256.doi:10.1007/BF02757281.
• Shelah, Saharon(2010).«Diamonds».Proceedings of the American Mathematical Society.138(6): 2151–2161.doi:10.1090/S0002-9939-10-10254-8.