Paradoxa de Arrow

Kenneth Arrow

En teoria de la decisió, la paradoxa de Arrow o teorema d'impossibilitat de Arrow establix que quan els votants tenen tres o més alternatives, no és possible dissenyar un sistema de votació que permeta reflectir les preferències dels individus en una preferència global de la comunitat de modo que al mateix temps es complixquen certs criteris "racionals":

• Absència d'un "dictador", és dir, d'una persona que tinga el poder per a canviar les preferències del grup.
• Eficiència de Pareto
• Independència d'alternatives irrellevants.

Esta teorema va ser donada a conéixer i demostrat per primera volta pel Premi Nobel d'Economia Kenneth Arrow en la seua tesis doctoral Social choice and individual values, i popularisat en el seu llibre del mateix nom editat en 1951. L'artícul original, A Difficulty in the Concept of Social Welfare, va ser publicat en The Journal of Political Economy, en agost de 1950.

Descripció de la teorema

En el camp microeconómico s'estudia el comportament dels agents econòmics individuals suponent que són racionals. Per racionalitat es vol dir que les preferències que dels agents tenen són transitivas, completes i reflexives.

Podem dir que les preferències són transitivas quan, si la situació $A$ és preferida a la situació $B$, i la situació $B$ és preferida a la situació $C$, llavors la situació $A$ és preferida a la situació $C$; esta característica de la relació de preferència permet establir un orde preferencial en les diferents alternatives que se nos presenten.

El problema es planteja quan passem del nivell de les preferències individuals a les preferències o decisions socials, açò és, quan intentem construir una regla que permeta establir un orde entre les distintes alternatives, no ya a nivell individu, sino a nivell social (grupal). En este cas, es poden donar relacions circulares a on desapareix la transitividad de la relació de preferència (intransitividad).

Un cas de intransitividad es dona, per eixemple, quan un conjunt de tres votants elegix entre tres alternatives, utilisant l'elecció per majoria simple com a método de votació. El votant $A$, preferix l'opció $X$ sobre la $Y$ i $Y$ sobre $Z$, el votant $B$ preferix a $Y$ sobre $Z$ i a $Z$ sobre $X$, el votant $C$ preferix a $Z$ sobre $X$ i a $X$ sobre $Y$. En esta situació ¿quin és l'escala de preferència del conjunt? És un eixemple de lo que es coneix com la paradoxa de Condorcet.

En este supòsit, els órdens de preferències individuals són:

A) $X>Y;Y>Z;X>Z$ (per transitividad)

B) $Y>Z;Z>X;Y>X$ (per transitividad)

C) $Z>X;X>Y;Z>Y$ (per transitividad)

Aixina, per mig de la regla de la majoria, tindríem les següents preferències del conjunt:

1) $X>Y$ (votants $A$ i $C$)

2) $Y>Z$ (votants $A$ i $B$)

3) $Z>X$ (votants $B$ i $C$)

Ara be, per regla de transitividad, tenim també $X>Z$, lo que nos du a una situació contradictòria.

La pregunta que es formula la teoria de la 'elecció social' és: ¿baix quines condicions resulta possible que les preferències agregades d'un conjunt d'individus siguen racionals (reflexives, transitivas i completes), a l'hora que satisfan determinades condicions axiológicas?

¿És possible una funció que agregue totes les preferències individuals i complixca un mínim de condicions que pugam considerar com a democràtiques? Arrow condiciona la regla d'agregació no només a criteris racionals (transitividad, completitud, reflexividad), sino també a dos criteris que podem denominar "democràtics": el principi de no-dictadura (no existixen individus que determinen l'ordenació de les preferències socials en independència de les preferències del restant) i el principi de no-imposició (l'ordenació de les preferències socials depén de les ordenacions individuals i no s'impon per atres criteris, com poden ser la tradició o l'encert).

El resultat de la Teorema de Arrow conclou que no existix cap regla d'agregació de preferències que tinga tals propietats normatives desijables (que l'agregació resulte en preferències racionals, que la regla i els resultats siguen vàlits per a qualsevol configuració de preferències, que no vagen contra l'unanimitat i que la preferència social entre dos alternatives siga independent de l'existència o no de terceres alternatives), a no ser que les preferències siguen el fidel reflex de les preferències d'algun individu, denominat "dictador".

Enunciat simplificat de la teorema

El Teorema d'Impossibilitat de Arrow partix d'establir que una societat necessita acordar un orde de preferència entre diferents opcions o situacions socials. Cada individu en la societat té el seu propi orde de preferència personal i el problema és trobar un mecanisme general (una regla d'elecció social) que transforme el conjunt dels órdens de preferència individuals en un orde de preferència per a tota la societat, el qual deu satisfer vàries propietats desijables:

• Domini no restringit o universalitat: la regla d'elecció social deuria crear un orde complet per cada possible conjunt d'órdens de preferència individuals (el resultat del vot deuria poder ordenar entre sí totes les preferències i el mecanisme de votació deuria poder processar tots els conjunts possibles de preferències dels votants)
• No imposició o criteri de Pareto dèbil: si A resulta socialment preferit a B, deu existir a lo manco un individu per al qual A siga preferit a B. Açò implica que la regla no va contra el criteri d'unanimitat.
• Absència de dictadura: la regla d'elecció social no deuria llimitar-se a seguir l'orde de preferència d'un únic individu ignorant als demés.
• Associació positiva dels valors individuals i socials o monotonia: si un individu modifica la seua orde de preferència en promoure una certa opció, l'orde de preferència de la societat deu respondre promovent eixa mateixa opció o, com a molt, sense canviar-la, pero mai degradant-la.
• Independència de les alternatives irrellevants: si restringim la nostra atenció a un subconjunt d'opcions i els apliquem la regla d'elecció social a elles soles, llavors el resultat deguera ser compatible en el corresponent per al conjunt d'opcions complet. Els canvis en la forma que un individu ordene les alternatives "irrellevants" (és dir, les que no pertanyen al subconjunt) no degueren tindre impacte en l'ordenament que faça la societat del subconjunt "rellevant".

La teorema de Arrow diu que si el cos que pren les decisions té a lo manco dos integrants i a lo manco tres opcions entre les que deu decidir, llavors és impossible dissenyar una regla d'elecció social que satisfaça simultàneament totes estes condicions. Formalment, el conjunt de regles de decisió que satisfan els criteris requerits resulta buit.

Monge (2021) demostra una versió alternativa de la teorema a partir de funcions d'utilitat, en lloc de regles de decisió. Concretament, demostra que cap funció de benestar social pot incorporar totes les transformacions monòtonament creixents de les funcions d'utilitat de cada individu; en conseqüència, cap criteri d'utilitat agregada ordinal representa autènticament les preferències dels individus.