Oscilador de van der Pol

Pla de fases d'un oscilador de van der Pol no forçat.

Evolució del cicle llímit en el pla de fase.

En sistemes dinàmics, el oscilador de van der Pol és un oscilador en amortiguamiento no llineal. La seua evolució temporal obedix a una equació diferencial de segon orde:

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} - μ (1 - x^{2}) \frac{d x}{d t} + x = 0

en la que x és la posició, funció del temps t, i μ és un paràmetro escalar que governa la no linealidad i el amortiguamiento.

Història

L'oscilador de van der Pol va ser descrit per l'ingenier i físic Balthasar van der Pol mentres treballava en Philips.^[1] Van der Pol va trobar oscilacions estables, que va cridar oscilacions de relaixació,^[2] conegudes en l'actualitat com cicles llímit, en circuits que usaven vàlvules de buit. Quan eixos circuits es fan funcionar prop del cicle llímit entren en acoplament i la senyal entra en fase en la corrent. Van der Pol i el seu colega, van der Mark, varen informar en el número de setembre de 1927 de Nature^[3] que para determinades freqüèncias apareixia un soroll irregular, sempre prop de les freqüències d'acoplament. Va ser un dels primers descobriments experimentals de la Teoria del caos.^[4]

L'equació de van der Pol té una llarga història en física i biologia. Per eixemple, en biologia, Fitzhugh^[5] i Nagumo^[6] varen aplicar l'equació a un camp bidimensional en el model de FitzHugh-Nagumo per a descriure el potencial d'acció de les neuronas. També s'ha usat en sismologia per a modelar el comportament de dos plaques en una falla.^[7]

Forma bidimensional

El teorema de Liénard prova que el sistema té un cicle llímit. Aplicant la transformació de Liénard $y = x - x^{3} / 3 - \dot{x} / μ$ , a on el '.' indica derivada, l'equació es pot escriure en forma bidimensional:^[8]

\dot{x} = μ (x - \frac{1}{3} x^{3} - y)

\dot{y} = \frac{1}{μ} x .

Referències

↑ Cartwright, M.L., "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc., 35, 367-376, (1960).
↑ Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator", Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
↑ FitzHugh, R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes”, Biophysics J, 1, 445-466, (1961).
↑ Nagumo, J., Arimoto, S. and Yoshizawa, S. "An active pulse transmission line simulating nerve axon", Proc. IRE, 50, 2061-2070, (1962).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., "Dynamics of elastic excitable mija", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197–2202, (1999).
↑ Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240-244, (1995).

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Oscilador de van der Pol» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Biography-1] Cartwright, M.L., "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc., 35, 367-376, (1960).

[relax-2] Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).

[Nature-3] Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363-364, (1927).

[4] Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator", Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).

[fitz-5] FitzHugh, R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes”, Biophysics J, 1, 445-466, (1961).

[nag-6] Nagumo, J., Arimoto, S. and Yoshizawa, S. "An active pulse transmission line simulating nerve axon", Proc. IRE, 50, 2061-2070, (1962).

[7] Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., "Dynamics of elastic excitable mija", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197–2202, (1999).

[8] Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240-244, (1995).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]