Orde total acotat

Plantilla:Relació binaria 101 En matemàtiques, un conjunt presenta un orde total acotat respecte a una relació binaria quan té un orde total i està acotat superior i inferiorment.

Definició

Donat un conjunt A i una relació binaria $\precsim$ definida entre els elements de A, que expressarem $(A,\precsim )$ i la relació es representa:

$a\precsim b$

Es diu que s'ha definit un orde total acotat en el conjunt A, si la relació $(A,\precsim )$ complix les propietats:

Relació reflexiva

$\mathrm{\forall }x\in A:x\precsim x$

Relació antisimètrica

$\mathrm{\forall }x,y\in A:x\precsim y\wedge y\precsim x⟶x=y$

Relació transitiva

$\mathrm{\forall }x,y,z\in A:x\precsim y\wedge y\precsim z⟶x\precsim z$

Relació total

$\mathrm{\forall }x,y\in A:x\precsim y\vee y\precsim x$

i Acotat

Archiu:Conjunto acotado caps block 1 .svg

Donat un conjunt A en el que s'ha definit una relació binaria $\precsim$, sent $(A,\precsim )$ un conjunt totalment ordenat.

L'element i de A és màxim si es complix que:

$y\in Aesm\acute{a}ximosi:\mathrm{\forall }x\in A:x\precsim y$

Es denomina màxim i definix una cota superior en A; l'element màxim és únic. Si el conjunt A i la relació binaria $\precsim$, que expressarem $(A,\precsim )$ és un orde total i té màxim, llavors és un conjunt en orde total i acotat superiorment.

De la mateixa manera l'element z de A que complix:

$z\in Aesm\acute{ı}nimosi:\mathrm{\forall }x\in A:z\precsim x$

Es denomina mínim i definix una cota inferior en A; l'element mínim és únic. Si el conjunt A i la relació binaria $\precsim$, que expressarem $(A,\precsim )$ és un orde total i té mínim, llavors és un conjunt en orde total i acotat inferiorment.

Un conjunt en orde total solament es diu acotat, si està acotat superior i inferiorment.

Vore també

Relació matemàtica

Relació binaria

Conjunt preordenado

Conjunt parcialment ordenat

Orde total

Acotat