Notació gràfica de Penrose

En matemàtiques i física, la notació gràfica de Penrose o notació de diagrama tensorial és una forma d'escriure (generalment a mà) funcions multilineales o tensors proposta per Roger Penrose en 1971.^[1] Un diagrama en esta notació consistix en vàries formes unides entre sí per llínees. La notació ha segut estudiada extensivamente per Predrag Cvitanović, qui la va usar per a classificar els grups de Lie clàssics.^[2] També ha segut generalisada usant la teoria de representació per a rets d'espin en física.

Interpretacions

Àlgebra multilineal

En el llenguage del àlgebra multilineal, cada forma representa una funció multilineal. Les llínees que ixen d'estes formes representen les entrades i eixides de la funció. D'esta forma és possible representar la composició de funcions enllaçant vàries figures entre sí.

Tensors

En el llenguage del àlgebra tensorial, s'associa un tensor particular en una forma en vàries llínees proyectades cap a dalt i cap a avall, corresponents a les índexs abstractes superiors i inferiors dels tensors respectivament. Conectar estes llínees entre dos figures correspon en la contracció d'índexs. Una ventaja d'esta notació és que no és necessari inventar noves lletres per a nous índexs. Esta notació és explícitament independent de la base triada.^[3]

Matrius

Cada figura representa una matriu, el producte tensorial es realisa horisontalment i el producte matricial en vertical.

Representació de tensors especials

La mètrica

La mètrica es representa per un bucle en forma de O o la seua image invertida, depenent del tipo de tensor utilisat.

Mètrica gab

Tensor de Levi-Civita

El tensor asimètric de Levi-Civita es representa per una llínea grossa horisontal en menuts segments que apunten cap a dalt o cap a avall depenent del tipo de tensor utilisat.

εab…n

ϵab…n

εab…nϵab…n=n!

Constant d'estructura

Archiu:Penrose gamma ab^c.svg

constant d'estructura

{γ_{α β}}^{χ} = - {γ_{β α}}^{χ}

Les constants d'estructura ( ${γ_{a b}}^{c}$ ) d'un àlgebra de Lie es representen per menuts triànguls en una llínea vertical que ix del vèrtiços superior dos llínees dels vèrtiços inferiors cap a avall.

Vore també

Notes

↑ Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quàntum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary.
↑ Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups, Princeton University Press.
↑ Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, Plantilla:Isbn, Chapter Manifolds of n dimensions.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Notación gráfica de Penrose» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quàntum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary.

[2] Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups, Princeton University Press.

[3] Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, Plantilla:Isbn, Chapter Manifolds of n dimensions.

[1]

[2]

[3]