Número pràctic

Demostració de la practicidad del número 12.

En teoria de números, un número pràctic o número panarítmico és un sancer positiu n tal que tots els sancers positius més menuts poden representar-se com sumixques de divisores distints de n. Per eixemple, 12 és un número pràctic perque tots els números de l'1 a l'11 es poden expressar com sumixques sense repeticions de les seues divisores 1, 2, 3, 4 i 6: ademés d'estos divisores, es té que 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 i 11 = 6 + 3 + 2.

La seqüència de números pràctics Plantilla:OEIS comença aixina:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150...

Fibonacci va utilisar números pràctics en el seu Liber Abaci (1202) en relació en el problema de representar número racional com fraccions egipcíaques. No va definir formalment els números pràctics, pero va donar una taula d'expansions de fraccions egipcíaques per a fraccions en denominadors pràctics.

El nom "número pràctic" es deu a Srinivasan (1948). Va senyalar que "les subdivisions de diners, pesos i mides involucren números com 4, 12, 16, 20 i 28, que generalment se supon que són tan incómodos que mereixen ser reemplaçats per potències de 10". Redescubrió la propietat teòrica numèrica de tals números i va anar el primer en intentar una classificació d'estos números que va ser completada per Stewart (1954) i Sierpiński (1955). Esta caracterisació permet determinar si un número és pràctic en examinar la seua factorización primera. Cada número perfecte i cada potència de dos és també un número pràctic.

També s'ha demostrat que els números pràctics són anàlecs a els número primo en moltes de les seues propietats.

Caracterisació dels números pràctics

La caracterisació original deSrinivasan (1948) va establir que un número pràctic no pot ser un número deficiente, un que la seua sumixca de tots els divisores (inclós 1 i sí mateixa) és menys del doble del número, a menos que la deficiència siga un. Si el conjunt ordenat de tots els divisores del número pràctic $n$ és $d_1,d_2,\mathrm{...},d_j$ en $d_1=1$ i $d_j=n$, llavors la declaració de Srinivasan es pot expressar per la desigualtat

$2n\le 1+\sum _{i=1}^j{d}_i$ .

En atres paraules, la seqüència ordenada de tots els divisores. $d_1<d_2<\mathrm{...}<d_j$ d'un número pràctic té que ser una subsecuencia completa.

Esta caracterisació parcial va ser estesa i completada perStewart (1954) iSierpiński (1955) els qui varen demostrar que és senzill determinar si un número és pràctic a partir del seu factorización primera. Un sancer positiu major que un en factorización primera $n=p_1^{{\alpha }_1}\mathrm{...}{p}_k^{{\alpha }_k}$ (en els número primo en orde ordenat $p_1<p_2<\dots <p_k$ ) és pràctic si i solament si cada u dels seus factors primers $p_i$ és lo suficientment chicotet com per a que cada $p_i-1$ tinga una representació com una suma de divisores més menuts. Per a que açò siga cert, el primer factor primer $p_1$ deu ser igual a 2 i, per cada i de 2 a k, cada cosí successiu $p_i$ deu obedir la desigualtat

$p_i\le 1+\sigma (p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_{i-1}^{{\alpha }_{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{{\alpha }_j+1}-1}{p_j-1},$

a on $\sigma (x)$ denota la suma dels divisores de x. Per eixemple, 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 és pràctic, perque la desigualtat anterior es complix per a cada u dels seus factors primers: 3 ≤ σ(2) + 1 = 4, 29 ≤ σ (2 × 3²) + 1 = 40 i 823 ≤ σ (2 × 3² × 29) + 1 = 1171.

La condició indicada anteriorment és necessària i suficient per a que un número siga pràctic. En una direcció, esta condició és necessària per a poder representar $p_i-1$ com una suma de divisores de n, perque si la desigualtat no era certa, inclús sumant tots els divisores més menuts donaria una suma massa chicoteta per a alcançar $p_i-1$ . En l'atra direcció, la condició és suficient, com es pot demostrar per inducció. Més concluyentement, si la factorización de n satisfà la condició anterior, llavors qualsevol $m\le \sigma (n)$ pot representar-se com una suma de divisores de n, per mig de la següent seqüència de passos:

• Siga $q=\min \{\lfloor m/p_k^{{\alpha }_k}\rfloor ,\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})\}$, i siga $r=m-q{p}_k^{{\sigma }_k}$ .
• Ya que $q\le \sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})$ i $n/p_k^{{\alpha }_k}$ per inducció pot mostrar-se com a pràctic, es pot trobar una representació de q com una suma de divisores de $n/p_k^{{\alpha }_k}$.
• Ya que $r\le \sigma (n)-p_k^{{\alpha }_k}\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})=\sigma (n/p_k)$, i a partir de $n/p_k$, per inducció es pot demostrar que és pràctic, i es pot trobar una representació de r com una suma de divisores de $n/p_k$.
• Els divisores que representen r, junt en $p_k^{{\alpha }_k}$ voltes cada u dels divisores que representen q, junts formen una representació de m com una suma de divisores de n .

Propietats

• L'únic número pràctic impar és 1, perque si n > 2 és un número impar, llavors 2 no pot expressar-se com la suma de divisores distints de n. Més restrictivament,Srinivasan (1948) va observar que, a banda d'1 i 2, cada número pràctic és divisible per 4 o 6 (o abdós).
• El producte de dos números pràctics és també un número pràctic. [5] Aixina mateix, el mínim comú múltiple de dos números pràctics és també un número pràctic. De manera equivalent, el conjunt de tots els números pràctics és tancat respecte a la multiplicació.
• De la caracterisació anterior de Stewart i Sierpiński es pot vore que si n és un número pràctic i d és un de les seues divisores, llavors nd també deu ser un número pràctic.
• En el conjunt de tots els números pràctics hi ha un conjunt primitiu de números pràctics. Un número pràctic primitiu carix de quadrats, o be, quan es dividix per qualsevol dels seus factors primers l'exponent dels quals de factorización és major que 1, ya no és pràctic. La seqüència de números pràctics primitius Plantilla:OEIS comença aixina:

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460. . .

Bibliografia

• . Citat perMargenstern (1991) .
• .
• . Citat perMargenstern (1991) .
• .

• .
• .
• .
• . Com citat perMargenstern (1991) iMitrinović, Sándor y Crstici (1996) .
• .
• .
• .
• .
• .

• .
• .
• .
• .
• .