Número de Descartes

En teoria de números, un número de Descartes és un número impar que haguera segut un número perfecte si un dels seus factors composts es considerara com si fora un número primo. Duen el nom de René Descartes (1596-1650), qui va observar que el número D = 3²⋅7²⋅11²⋅13²⋅22021 = (3⋅1001)² ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189 seria un número perfecte impar solament si 22021 fora un número primo, ya que la suma de les seues divisores para D compliria, si 22021 fora primer, la condició de que

$\begin{array}{cc}\sigma (D)& =(3^2+3+1)\cdot (7^2+7+1)\cdot (11^2+11+1)\cdot (13^2+13+1)\cdot (22021+1)\\ & =(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\ & =3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 19^2\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)\\ & =2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot (19^2\cdot 61)\\ & =2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot 22021\\ & =2D\end{array}$

a on s'ignora el fet de que 22021 és un número compuesto (22021 = 19² ⋅ 61).

Un número de Descartes es definix com un número impar n = m ⋅ p a on m i p són número coprimo i 2n = σ(m) ⋅ (p + 1), d'a on p es pren com un cosí 'fals'. L'eixemple donat és l'únic conegut actualment.

Si m és un número casi perfecte impar, és dir, si σ(m) = 2m − 1 i 2m − 1 es prenen com un cosí 'fals', llavors n = m ⋅ (2m − 1) és un número de Descartes, ya que σ(n) = σ(m ⋅ (2m − 1)) = σ(m) ⋅ 2m = (2m − 1) ⋅ 2m = 2n. Si 2m − 1 fora primer, n seria un número perfecte impar.

Propietats

Banks et al. varen demostrar en 2008 que si n és un número de Descartes sancer lliure de quadrats i no divisible per $3$, llavors n té més d'un milló de divisores primers distints.

Generalisacions

John Voight va generalisar els números de Descartes permetent bases negatives. Va trobar l'eixemple $3^4{7}^{2}11^{2}19^2(-127{)}^1$. El treball posterior d'un grup en l'Universitat Brigham Young va trobar més eixemples similars al localisat per Voight.

Vore també

• Número de Erdős-Nicolas, un atre tipo de número casi perfecte

Bibliografia

• (2008) «Descartes numbers», Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006 (vol. 46), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9.
• (1991) Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory (vol. 11), Washington, DC: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-315-9.