Miges pitagórico

Una construcció geomètrica de la mija quadràtica i les miges de Pitágoras (de dos números a i b). Mija harmònica denotat per H, geomètric per G, Aritmètica per a i mija quadràtica denotada per Q.

La comparació de les miges aritmètiques, geomètriques i harmòniques d'un parell de números. Les llínees de traços verticals són asíntotas per als mijos harmònics.

En matemàtiques, les tres clàssiques mides pitagórico són la mija aritmètica (AM), la mija geomètrica (GM), i la mija harmònica (HM). Es definixen per:

$AM(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)$

$GM(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{|x_1{}_{{}^{\times }}\cdots {}_{{}^{\times }}{x}_n|}$

$HM(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$

Cada mig té les següents propietats:

Preservació de valor: $M(x,x,\dots ,x)=x$

Homogeneïtat de primer orde: $M(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=bM(x_1,\dots ,x_n)$

Invariancia baix intercanvi: $M(\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=M(\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$ per a qualsevol $i$ i $j$.

Promig: $\min (x_1,\dots ,x_n)\le M(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$.

Estos mijos es varen estudiar en proporcions en pitagórico i posteriors generacions de matemàtics grecs per la seua importància en la geometria i la música. Els mijos harmònics i aritmètiques són duals recíproques d'un a l'atre per a arguments positius ($HM(1/x_1\dots 1/x_n)=1/AM(x_1\dots x_n)$). Mentres que la mija geomètrica és el seu propi dual recíproc.

Les desigualtats entre les miges

Hi ha un demanat a estos mijos (per a todad $x_i$ positius)

$\min \le HM\le GM\le AM\le \max$

en igualtat de drets si i solament si el $x_i$ són tots iguals

Esta és una generalisació de la Desigualtat de les miges aritmètica i geomètrica i un cas especial d'una desigualtat per a les Mija generalisadas. La prova se seguix de la desigualtat mija aritmètic-geomètrica, $AM\le \max$ i la dualitat recíproca ($\min$ and $\max$ també són recíprocamente duals entre sí).

L'estudi dels mijos pitagórico està estretament relacionat en la Mayorización i les funcions Schur-convexas. Els mijos harmònics i geomètrics són funcions simètriques cóncaves dels seus arguments, i per lo tant Schur-cóncau, mentres que la mija aritmètica és una funció llineal dels seus arguments, per lo que són cóncaus i convexos.