Funció Schur-convexa

En matemàtiques, una funció de Schur-convexa, també coneguda com a S-convex, funció isotónica i funció de preservació d'orde és una funció $f:{ℝ}^d\to ℝ$ para tot $x,y\in {ℝ}^d$ tal que $x$ està mayorizado per $y$, un té això $f(x)\le f(y)$. El nom prové d'Issai Schur, Schur-convex funcions s'utilisen en l'estudi de l'especialisació. Cada funció que és convexa i simètrica també és Schur-convexa. l'implicació oposta no és verdadera, pero totes les funcions de Schur-convex són simètriques (baixe permutació dels arguments). Aixina mateix, una funció f és 'Schur-cóncava' si el seu negatiu, - f , és Schur-convexa.

Criteri de Schur-Ostrowski

Si f és simètrica i totes les primeres derivades parcials existixen, llavors f és Schur-convexa si i solament si

$(x_i-x_j)(\frac{\partial f}{\partial x_i}-\frac{\partial f}{\partial x_j})\ge 0$ for all $x\in {ℝ}^d$

es manté per a tot 1≤i≠j≤d.

Eixemples

• $f(x)=\min (x)$ és Schur-cóncau mentres $f(x)=\max (x)$ s Schur-convexo. Açò es pot vore directament des de la definició.
• La funció d'entropía de Shannon $\sum _{i=1}^d{P}_i\cdot {\log }_2\frac{1}{P_i}$ és Schur-cóncau.
• La funció d'entropía de Rényi també és Schur-cóncava.
• $\sum _{i=1}^d{x}_i^k,k\ge 1$ és schur-convexa.
• La funció $f(x)=\prod _{i=1}^n{x}_i$ és Schur-cóncava, quan assumim que tot $x_i>0$. De la mateixa manera, totes les funcions simètriques elementals són Schur-cóncaves, quan $x_i>0$.
• Una interpretació natural de la mayorización és que si $x\succ y$ llavors $x$ és menys escampat que $y$. Per lo tant, és natural preguntar si les mides estadístiques de variabilitat són Schur-convexas. La varianza i la desviació estàndar són funcions Schur-convexas, mentres que la desviació absoluta mijana no ho és.