Mija generalisada

Construcció geomètrica per a trobar les miges aritmètica, geomètrica i harmònica de dos números a i b.

La mija generalisada és una abstracció dels diversos tipos de mija (geomètrica, aritmètica, harmònica, etc). Es definix com:

$M_m(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^m\right)}^{\frac{1}{m}}& \text{si}m=0\\ {\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}& \text{si}m=0\end{array}$

En a on certs valors del paràmetro m es corresponen en un atre tipo de miges:

$M_{\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\max (x_1,\dots ,x_n)$

$M_2(x_1,\dots ,x_n)=$ mija quadràtica

$M_1(x_1,\dots ,x_n)=$ mija aritmètica

$M_0(x_1,\dots ,x_n)=$ mija geomètrica

$M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=$ mija harmònica

$M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\min (x_1,\dots ,x_n)$

Definició

Siga

$x$

una variable discreta que assumix els

$n$

valors positius

$x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$

, el número

$c_{\beta }=(\frac{x_1^{\beta }+x_2^{\beta }\mathrm{...}+x_n^{\beta }}{n}{)}^{\frac{1}{\beta }}$

es denomina mija potencial de grau $\beta$ dels números $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$. En particular, el número

$c_1=\frac{x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n}{n}$

és la mija aritmètica dels mencionats números; en especial, el número

$c_2=(\frac{x_1^2+x_2^2+\mathrm{...}{x}_n^2}{n}{)}^{\frac{1}{2}}$

es diu mija quadràtica;, finalment, el número

$c_{-1}=(\frac{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\mathrm{...}{x}_n^{-1}}{n}{)}^{-1}$

es denomina mija harmònica dels números $x_1,x_2,\mathrm{...}{x}_n$.

Des d'un punt de vista formal, no hi ha restricció per al valor del grau $\beta$, de modo que pot assumir qualsevol valor real

$-\mathrm{\infty }<\beta <+\mathrm{\infty }$

I el valor de x deu ser positiu.

Proposicions

Comparació en la mija geomètrica

Si $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ són números positius i, a la seua volta, $k<0<l$ llavors es complix

$c_k\le G\le c_l$

a on G és la mija geomètrica; Observe's que la mija potencial de grau negatiu no excedix a la mija geomètrica i que la mija potencial de grau positiu no és menor que la mija geomètrica.

Producte versus suma de n-ésinas potències

Donat els números positius x₁, x₂,..., x_n es complix que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_nⁿ

Monotonia de la mija potencial respecte al grau

Si x₁, x₂,..., x_n són números posiivos i m < p, es té C _m≤ C_p. Ocorre l'igualtat C _m = C_p únicament si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Relació d'orde entre diverses miges potencials

Si s'assumix que la mija geomètrica g siga definida com "mija potencial de grau zero" i es denota g = c₀, es té la següent successió

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

Vore també

• Mija aritmètica
• Mija harmònica
• Mija quadràtica
• Mija geomètrica
• Mija heroniana

Notes i referències

Bibliografia

Korovkin. Desigualtats. Edicions Mir, Moscou.