Matriu de pesos posicionals

Una matriu de pesos posicionals o MPP (en anglés, position weight matrix (PWM), position-specific weight matrix (PSWM) o position-specific scoring matrix (PSSM)) és una forma de representació i predicció de motius o patrons en seqüències biològiques (compostes per nucleòtits o aminoàcits) que té com a objectiu descriure les variacions intrínseques en els seus patrons.

Per este motiu, estes matrius deriven normalment d'un conjunt de seqüències alineades que se sospita que es troben funcionalmente relacionades.

Des de la seua creació, les MPP s'han anat adaptant a distints tipos de seqüències i s'han desenrollat múltiples aproximacions per a determinar els paràmetros necessaris, en lo que han terminat per constituir una part molt important de moltes ferramentes de software per al descobriment de patrons.

Context

La matriu de pesos posicionals va ser introduïda pel genetista americà Gary Stormo en colaboració en els seus companyers en l'any 1982, com a alternativa a les seqüències consens.

Gary Stormo donant el seu discurs d'obertura de la ISCB en ISMB/ECCB 2013.

Estes seqüències havien segut amprades anteriorment per a representar patrons en les seqüències biològiques, encara que posseïen problemes en la predicció de noves ocurrències d'estos patrons.

Les MPP s'usen comunament per al modelaje de les interaccions específiques entre l'ADN i les proteïnes. No obstant, la primera volta que es varen amprar estes matrius va ser en seqüències d'ARN de E. coli, a on es varen descriure distints llocs que funcionen com a dominis d'iniciació de la traducció.

En la seua creació, el matemàtic Andrzej Ehrenfeucht va propondre l'algoritme perceptrón per a que les matrius foren capaces de diferenciar entre les regions reals d'unió, d'aquelles no funcionals que posseïxen seqüències similars. Es va portar a terme un entrenament del perceptrón en dos conjunts de regions que va resultar en una matriu i un llímit capaç de distinguir entre abdós conjunts.

L'us de la matriu per a escanejar noves seqüències que no formen part de l'entrenament ha demostrat que este método resulta més sensitivo i precís que la millor seqüència consens existent.

Les ventages de l'ocupació de les matrius de pesos posicionals sobre les seqüències consens han fet d'elles un método popular per a representar patrons en seqüències biològiques i un component essencial en els algoritmes moderns en el descobriment de motius.

Càlcul de la matriu de pesos posicionals (MPP)

Les matrius de pesos posicionals expressen els patrons inherents a una alliniació de seqüències múltiples d'un conjunt de seqüències homòlogues.

L'objectiu és trobar coincidències dites seqüències alineades i les seqüències de la base de senyes, assignant un pes major a aquelles posicions que es troben conservades respecte a aquelles que són variables.

Obtenció de matrius de freqüències

La matriu de pesos posicionals es calcula a partir del conjunt de seqüències homòlogues alineades i té una fila per cada símbol de l'alfabet (4 files per a nucleòtits en seqüències d'ADN o 20 files per a aminoàcits en seqüències de proteïnes) i una columna per a cada posició del patró.

En el següent eixemple, s'observen N=10 seqüències alineades de ADN, en L=9 nucleòtits cada una, per a les quals volem descriure un patró:

GAGGTAAAC TCCGTAAGT CAGGTTGGA ACAGTCAGT TAGGTCATT TAGGTACTG ATGGTAACT CAGGTATAC TGTGTGAGT AAGGTAAGT

Matriu de freqüències absolutes

El primer pas per a construir una matriu de pesos posicionals és crear una matriu de freqüències absolutes (F). Esta matriu es construïx contant les ocurrències observades de cada nucleòtit en cada posició concreta.

Com es pot observar en l'eixemple, en la posició 1  s'han trobat 3A, 2C,  1G i 4T. Si es realisa el mateix contaje per a totes les posicions s'obtindrà la següent matriu F d'un tamany de 4x9:

$F=\begin{array}{c}A\\ C\\ G\\ T\end{array}\left[\begin{array}{ccccccccc}3& 6& 1& 0& 0& 6& 7& 2& 1\\ 2& 2& 1& 0& 0& 2& 1& 1& 2\\ 1& 1& 7& 10& 0& 1& 1& 5& 1\\ 4& 1& 1& 0& 10& 1& 1& 2& 6\end{array}\right]$

$F_{4\times 9}$: El número de files és 4, perque solament existixen 4 nucleòtits possibles (A,G,C,T) per a cada posició i el número de columnes és 9 perque la llongitut de les seqüències utilisades és de 9 nucleòtits.

Matriu de freqüències relatives o provabilitats

Per a poder interpretar els coeficients de la matriu com a provabilitats, es dividix cada freqüència absoluta entre el número total de seqüències (N) per a l'obtenció de la matriu de freqüències relatives o provabilitats(P).  

Per eixemple, per a calcular la provabilitat de trobar una A en la posició 1, es dividix la cantitat d'observades en eixa posició (3) entre el número de seqüències totals (10): 3/10 = 0,3 . Este càlcul es realisa per a tots els valors de la matriu F i s'obté la següent matriu P:

$P=\begin{array}{c}A\\ C\\ G\\ T\end{array}\left[\begin{array}{ccccccccc}0.3& 0.6& 0.1& 0.0& 0.0& 0.6& 0.7& 0.2& 0.1\\ 0.2& 0.2& 0.1& 0.0& 0.0& 0.2& 0.1& 0.1& 0.2\\ 0.1& 0.1& 0.7& 1.0& 0.0& 0.1& 0.1& 0.5& 0.1\\ 0.4& 0.1& 0.1& 0.0& 1.0& 0.1& 0.1& 0.2& 0.6\end{array}\right]$

Esta matriu permet calcular, per a una seqüència determinada, la provabilitat de trobar dita seqüència en la regió funcional descrita per la matriu.

Donada la seqüència S = GAGGTAAAC es realisa el següent càlcul:

$p(S|P)=0.1\times 0.6\times 0.7\times 1.0\times 1.0\times 0.6\times 0.7\times 0.2\times 0.2=0.0007056$

Es multipliquen els coeficients de la matriu corresponents a cada nucleòtit de cada posició de la seqüència S. El resultat obtingut s'interpreta com que existix una provabilitat d'un 0.07% de que la seqüència S es trobe en un lloc funcional real.

Definició matemàtica

Cada element de la matriu de provabilitat $P$ és igual a la provabilitat de trobar una lletra $k$ en la posició $j$ del patró. Donat un conjunt de $N$ seqüències alineades de llongitut $L$, els elements de la matriu $P$ es calculen com:

$P_{k,j}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}I(X_{i,j}=k)$

a on:

$N$ és el número total de seqüències alineades

$i\in (1,\mathrm{...},N)$: $i$ fa referència a dites seqüències, i pren valors d'1 fins a $N$

$j\in (1,\mathrm{...},L)$: $j$ fa referència a les posicions dins de les seqüències, i pren valors des d'1 fins a $L$.

$k=(ACTG)$: $k$ és una de les lletres de l'alfabet, en este cas A, C, T o G

$P_{k,j}$ és la provabilitat de trobar la lletra $k$ en la posició $j$.

$I(X_{i,j}=k)$ és una funció indicatriz en la qual $X_{i,j}$ és la lletra corresponent a la posició $j$ en la seqüència $i$, i seguix la fòrmula:

$I(X_{i,j}=k)=\{\begin{array}{cc}1,& X_{i,j}=k\\ 0,& X_{i,j}\ne k\end{array}$, és dir, la funció $I$ pren el valor d'1 quan $X_{i,j}$ és equivalent al valor de $k$, i el valor de 0 quan $X_{i,j}$ és diferent de $k$.

Obtenció de la matriu de pesos posicionals

En la majoria dels casos, els valors de la matriu de pesos posicionals M es calculen per mig de logaritme de la raó de verosimilitut.

Una volta obtinguda la matriu de freqüències relatives o provabilitats, els valors es normalisen segons les freqüències esperades o provabilitat a priori de $k$ ($P_k$) i s'obté la raó de verosimilitut. Finalment esta raó de verosimilitut es transforma a escala logarítmica.

D'esta manera, els valors que s'obtenen representen cóm de freqüent és cada nucleòtit en cada posició respecte a l'encert. Valors superiors a 0 indiquen una freqüència major a l'esperada per encert, mentres que valors inferiors a 0 indiquen una freqüència inferior a l'esperada per encert.

Per a la conversió del valor d'en la primera posició, es deu dividir l'element d'en la posició 1 de la matriu de freqüències relatives (0,3) entre la provabilitat a priori de (0,25): 0,3/0,25=1,2  i posteriorment es transforma per mig del logaritme neperiano: ln(1,2)=0.18.

Este càlcul es realisa per a tots els valors de la matriu F i s'obté la següent matriu M:

$M=\begin{array}{c}A\\ C\\ G\\ T\end{array}\left[\begin{array}{ccccccccc}0.18& 0.87& (-1.32)& (-\mathrm{\infty })& (-\mathrm{\infty })& 0.87& 1.02& (-0.22)& (-0.91)\\ (-0.22)& (-0.22)& (-0.91)& (-\mathrm{\infty })& (-\mathrm{\infty })& (-0.22)& (-0.91)& (-0.91)& (-0.22)\\ (-0.91)& (-0.91)& 1.02& 1.38& (-\mathrm{\infty })& (-0.91)& (-0.91)& 0.69& (-0.91)\\ 0.47& (-0.91)& (-0.91)& (-\mathrm{\infty })& 1.38& (-0.91)& (-0.91)& (-0.22)& 0.87\end{array}\right]$

Comentari: els valors entre paréntesis són negatius, encara que és possible que no s'observen per un error de visualisació.

Ya que es tracta d'una seqüència de nucleòtits, s'assumix que la provabilitat esperada a l'encert és de 0,25. No obstant, no sempre existix una distribució uniforme en les unitats de k; per eixemple, quan s'estudien organismes en una alta composició de CG: en este cas, les provabilitats de C i G seran majors que les d'i T.

Els valors resultants d'esta matriu permeten calcular una puntuació per a una seqüència determinada. Esta puntuació serà 0 quan siga igual de provable trobar dita seqüència en la regió funcional descrita per la matriu que en qualsevol regió aleatòria del genoma, major que 0 quan siga més provable trobar la seqüència en la regió funcional que en una regió aleatòria i menor que 0 quan siga més provable trobar la seqüència en una regió aleatòria que en la regió funcional.

Donada la seqüència S = GAGGTAAAC, la seua puntuació es calcularia del següent modo:

$p=(-0.91)+0.87+1.02+1.38+0.87+1.02+(-0.22)+(-0.22)=5.19$

Es sumen els coeficients de la MPP corresponents a cada nucleòtit de cada posició de la seqüència donada. El resultat obtingut és major que 0, per lo que és més provable trobar la seqüència S en un lloc funcional real que en un lloc aleatori del genoma.

Definició matemàtica

$M_{kj}=ln\frac{P_{kj}}{P_k}$

a on $M_{kj}$ és la matriu de pesos posicionals, $P_{kj}$ és la matriu de freqüències relatives o provabilitats i $P_k$ representa la provabilitat a priori o freqüències esperades de les unitats de $k$ (0,25 per a la seqüència de nucleòtits i 0,05 per a la seqüència d'aminoàcits si assumim una distribució uniforme).

Independència estadística

Cal tindre en conte que totes les matrius assumixen una independència estadística entre les posicions del patró, ya que els valors per cada posició s'han calculat independentment del restant de posicions. Açò pot resultar una llimitació en alguns casos i es podria rectificar per mig de la construcció de matrius més complexes afegint dimensions adicionals que tinguen en conte les posicions adjacents.