Llei de Curie

Archiu:Image-Magnetization.jpg

Magnetisació d'un material paramagnético en funció de la temperatura

Archiu:Magnetization2.jpg

Magnetisació d'un material paramagnético en funció de la temperatura inversa

En un material paramagnético, la llei de Curie establix que la susceptibilitat magnètica del material és inversamente proporcional a la temperatura.

Agregant la constant de proporcionalitat, s'obté la següent equació:

${\chi }_{\mathrm{m}}=\frac{C}{T}$

sent:

• ${\chi }_{\mathrm{m}}$ és la susceptibilitat magnètica, sense unitats.
• $T$ és la temperatura absoluta, en kelvin .
• $C>0$ és la constant de Curie, específica del material, en kelvin.

La llei indica que els materials paramagnéticos aumenten el seu magnetisació directament proporcional al camp aplicat, i són cada volta menys magnètics en elevar-se la temperatura.

La relació va ser descoberta experimentalment per Pierre Curie en 1896. No obstant, la Llei només és aplicable a temperatures elevades o camps magnètics dèbils, ya que falla en la descripció del fenomen quan els moments magnètics es troben alineats; és dir, quan nos acostem a la saturació magnètica. En este punt, la resposta del camp magnètic al camp aplicat deixa de ser llineal. Aplegat al punt de saturació, la magnetisació és la màxima possible i no creix més, independentment de que s'aumente el camp magnètic o es reduïxca la temperatura.

La llei de Curie-Weiss és una extensió de la llei de Curie per a materials ferromágneticos:

${\chi }_{\mathrm{m}}=\frac{C}{T-T_{\mathrm{C}}}$

a on $T_{\mathrm{C}}$ és la temperatura de Curie, en la qual presenta una singularitat. Per a temperatures $T<T_{\mathrm{C}}$, el material presenta una magnetisació espontànea.

Derivació

Suponga's un sistema de N espin s=1/2 localisats en contacte en un foc tèrmic. Les energies possibles per a un espin són:

$E=-𝝁\cdot 𝐁=-g{\mu }_{\mathrm{B}}B{m}_s{m}_s=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}g=2$

on B és el camp magnètic, μ el moment magnètic d'un espin i μ_B és el magnetón de Bohr. La funció de partició d'un d'estos espin vindrà dau en la colectivitat canònica per:

$z=\sum _l{e}^{-\beta E_l}=e^{\beta {\mu }_{\mathrm{B}}B}+e^{-\beta {\mu }_{\mathrm{B}}B}=2\cosh (\beta {\mu }_{\mathrm{B}}B)\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$

Ya que els espin s'han supost independents, la funció de partició total serà la funció de partició d'un espin multiplicada N voltes

$Z=z^N$

l'entalpia lliure de Gibbs vindrà donada per:

$G=-\frac{1}{\beta }\ln (Z)=-\frac{N}{\beta }\ln (2\cosh \beta {\mu }_{\mathrm{B}}B)$

Aplicant que en un sistema magnètic:

${\chi }_{\mathrm{m}}=-\frac{{\mu }_0}{V}{\left(\frac{{\partial }^{2}G}{\partial B^2}\right)}_T$

a on es té que:

${\chi }_{\mathrm{m}}={\mu }_{0}n{\mu }_{\mathrm{B}}^2\beta {\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(\beta {\mu }_{\mathrm{B}}B)$

a on n=N/V.

Per al llímit d'altes temperatures T tendix a infinit de modo que $\beta$ tendix a 0. En eixe llímit realisant un desenroll en série de Taylor de la secante hiperbòlica es té que:

${\chi }_{\mathrm{m}}={\mu }_{0}n{\mu }_{\mathrm{B}}^2\beta {\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(\beta {\mu }_{\mathrm{B}}B)\approx {\mu }_{0}n{\mu }_{\mathrm{B}}^2\beta =\frac{C}{T}C=\frac{{\mu }_0{\mu }_{\mathrm{B}}^{2}n}{k_{\mathrm{B}}}$

Per a una derivació més general, vore llei de Brillouin.