Lema de Itô

Archiu:Ito Integral BdB.png

Un gràfic d'una trayectòria de mostra d'un procés de Wiener, o moviment browniano, B, junt en la seua integral de Itō sobre sí mateixa. L'integració per parts o lema de Itō mostra que l'integral és igual a (B2 - t)/2.

En matemàtiques, el lema de Itô és una identitat utilisada en càlcul de Itô per a trobar la diferencial d'una funció temporal dependent d'un procés estocàstic. És una versió estocàstica de la regla de la cadena del càlcul diferencial usual.

El lema és àmpliament utilisat en matemàtiques financeres i la seua aplicació més coneguda és per a obtindre l'equació de Black-Scholes.

Demostració informal

Una demostració formal del lema consistix en prendre el llímit d'una seqüència de variables aleatòries. Esta aproximació no és presentada ací puix involucra un gran número de detalls tècnics. En canvi, donem un bosqueig de cóm un pot obtindre el lema de Itô expandint una série de Taylor i aplicant les regles de càlcul estocàstic.

Suponga que $X_t$ és un procés d'Itô en drift que satisfà l'equació diferencial estocàstica

$d{X}_t={\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t,$

a on $B_t$ és un moviment browniano. Si $f(t,x)$ és una funció escalar dos voltes diferenciable, la seua expansió en una série de Taylor és

$df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+\cdots .$

Substituint $X_t$ per a $x$ i ${\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t$ per $dx$ obtenim

$df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}({\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}({\mu }_t^{2}d{t}^2+2{\mu }_t{\sigma }_{t}dtd{B}_t+{\sigma }_t^{2}d{B}_t^2)+\cdots .$

En el llímit $dt\to 0$, els térmens $d{t}^2$ i $dtd{B}_t$ tendixen a zero més ràpit que $d{B}^2$, que és $O(dt)$. Fent els térmens $d{t}^2$ i $dtd{B}_t$ zero, reemplaçant $dt$ per $d{B}^2$ (per la variació quadràtica del Wiener procés) i juntant els térmens $dt$ i $dB$, obtenim

$df=(\frac{\partial f}{\partial t}+{\mu }_t\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{{\sigma }_t^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+{\sigma }_t\frac{\partial f}{\partial x}d{B}_t$

Eixemples

Moviment browniano geomètric

Un procés $\{S_t\}$ es diu que seguix un moviment browniano geomètric en volatilitat constant $\sigma$ i drift constant $\mu$ si satisfà l'equació diferencial estocàstica $d{S}_t=\sigma S_{t}d{B}_t+\mu S_{t}dt$ sent $\{B_t\}$ un moviment Browniano. Aplicant el lema de Itô en $f(S_t)=\log (S_t)$ obtenim

$\begin{array}{cc}df(S_t)& =f^{\prime }(S_t)d{S}_t+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(S_t)(d{S}_t{)}^2\\ & =\frac{1}{S_t}d{S}_t+\frac{1}{2}(-S_t^{-2})(S_t^2{\sigma }^{2}dt)\\ & =\frac{1}{S_t}(\sigma S_{t}d{B}_t+\mu S_{t}dt)-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}dt\\ & =\sigma d{B}_t+(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})dt.\end{array}$

açò és

$d(\log (S_t))=\sigma d{B}_t+(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})dt.$

de lo anterior se seguix que

$\log (S_t)=\log (S_0)+\sigma B_t+(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t,$

que és equivalent a

$S_t=S_0\exp (\sigma B_t+(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t).$

Fòrmula de Black–Scholes

El lema de Itô pot ser utilisat per a obtindre l'equació de Black–Scholes per a una opció. Suponga que un preu accionario seguix un moviment browniano geomètric donat per l'equació diferencial estocàstica $d{S}_t=(\sigma S_{t}d{B}_t+\mu S_{t}dt)$, si el valor de l'opció al temps $t$ és $f(t,S_t)$ llavors pel lema de Itô

$df(t,S_t)=(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}{\left(S_t\sigma \right)}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2})dt+\frac{\partial f}{\partial S}d{S}_t.$

Vore també

• Procés de Wiener
• Càlcul de Itô

Bibliografia

• Kiyosi Itô (1944). Integral estocàstica. Proc. Imperial Acad. Tòquio 20, 519–524. Açò és el paper en el Ito Fòrmula; On-line
• Kiyosi Itô (1951). En equacions diferencials estocàstiques. Memoirs, Societat Matemàtica americana 4, 1–51. On-line
• Bernt Øksendal (2000). Equacions Diferencials estocàstiques. Una Introducció en Aplicacions, 5.ª edició, va corregir 2.ª impressió. Salmer. ISBN 3-540-63720-6. Seccions 4.1 i 4.2.
• Philip I Protter (2005). Integració estocàstica i Equacions Diferencials, 2.ª edició. Salmer. ISBN 3-662-10061-4. Secció 2.7.