K-tupla d'número primo

En teoria de números, una k-tupla d'número primo és una colecció finita de valors que representen un patró repetible de diferències entre número primo. Per a una k-tupla (a, b, ...), les posicions a on la k-tupla coincidix en un patró en els número primo estan donades pel conjunt de sancers n tals que tots els valors (n + a, n + b, ...) són primers. Normalment, el primer valor de la k-tupla és 0 i el restant són número par i impar positius distints.

Patrons en nom

A continuació figuren vàries de les k-tuplas més curtes que es coneixen per atres noms comuns:

(0, 2)	Primers bessons
(0, 4)	Cosins primers
(0, 6)	Cosins sexis
(0, 2, 6), (0, 4, 6)	Triplets primers
(0, 6, 12)	Triplets primers sexis
(0, 2, 6, 8)	Cuadrupletes primers, décades primeres
(0, 6, 12, 18)	Cuadrupletes primers sexis
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)	Quintupletes primers
(0, 4, 6, 10, 12, 16)	Sextupletes primers

La seqüència OEIS Plantilla:OEIS2C cobrix 7-tuplas ("septillizos principals") i conté una descripció general de les seqüències relacionades, com les tres seqüències corresponents a les tres 8-tuplas admissibles (octillizos primers) i l'unió de totes les 8-tuplas. El primer terme en estes seqüències correspon al primer cosí en la constelació de cosins més chicoteta que es mostra a continuació.

Admisibilidad

Per a que una k-tupla tinga infinites posicions en les que tots els seus valors siguen primers, no pot existir una p primera tal que la tupla incloga tots els valors possibles diferents de mòdul p. Perque, si existia tal primer p, llavors no importa qué valor de n s'elegira, un dels valors formats en sumar n a la tupla seria divisible per  p, per lo que solament podria haver un número finito d'ubicacions principals (solament aquelles que inclouen la pròpia p). Per eixemple, els números en una k-tupla no poden prendre els tres valors 0, 1 i 2 mòdul 3; de lo contrari, els números resultants sempre inclourien un múltiple de 3 i, per lo tant, no tots podrien ser primers a menos que un dels números siga 3. Una k-tupla que satisfà esta condició (és dir, no té una p per a la qual cobrixca tots els diferents valores mòdul p) es denomina admissible.

Es conjectura que cada k-tupla admissible coincidix en un número infinit de posicions en la seqüència d'número primo. No obstant, no hi ha cap tupla admissible per a la que s'haja provat açò llevat la tupla 1 (0). No obstant, per la famosa prova de Yitang Zhang de 2013 es deduïx que existix a lo manco una 2-tupla que coincidix en infinites posicions; el treball posterior va demostrar que existix una 2-tupla en valors que diferixen en 246 o menys que coincidix en infinites posicions.

Posicions emparellades per patrons inadmissibles

Encara que (0, 2, 4) no és admissible, produïx el conjunt únic d'número primo (3, 5, 7).

Algunes k-tuplas inadmissibles tenen més d'una solució primera. Açò no pot succeir per a una k-tupla que inclou tots els valores mòdul 3, per lo que per a tindre esta propietat, una k-tupla deu cobrir tots els valores mòdul un cosí major, lo que implica que hi ha a lo manco cinc números en la tupla. La tupla inadmissible més curta en més d'una solució és la tupla de 5 elements (0, 2, 8, 14, 26), que té dos solucions: (3, 5, 11, 17, 29) i (5, 7, 13, 19, 31), a on s'inclouen totes les congruència (mod 5) en abdós casos.

Bibliografia

• (2019).«On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood».Computational Methods in Science and Technology.25(3)doi:10.12921/cmst.2019.0000033..
• (2011).«The Skewes number for twin primes: counting sign changes of π2(x) − C2Li2(x)».Computational Methods in Science and Technology.17

87–92.doi:10.12921/cmst.2011.17.01.87-92..